【DSP笔记 · 第6章】数字世界的“筛子”：IIR滤波器设计从入门到精通

数字世界的“筛子”：IIR滤波器设计从入门到精通

在数字信号处理的广阔世界里，我们无时无刻不在与各种信号打交道——声音、图像、传感器读数等等。但这些原始信号往往混杂着我们不想要的成分，比如恼人的电流声、模糊图像的噪点、或是设备自身的抖动干扰。如何从这些混杂的信号中“筛”出我们真正需要的部分？答案就是——滤波器。

今天，我们将深入探讨一种高效、经典的数字滤波器：无限脉冲响应（IIR）滤波器。你或许会觉得这个名字听起来很“学术”，但别担心，我将带你一步步揭开它的神秘面纱。读完本文，你将不仅理解IIR滤波器的核心原理，更能掌握其设计方法，为你未来的项目（无论是音频处理、通信系统还是物联网数据分析）打下坚实的基础。

滤波器的“设计图纸”：关键技术指标

在动手盖房子之前，我们必须先有设计图纸。同样，在设计一个滤波器之前，我们也需要一套明确的“图纸”——也就是技术指标。这些指标告诉我们，这个“筛子”应该筛掉什么、保留什么，以及筛得有多“干净”。

想象一下，我们想设计一个最常见的低通滤波器（Low-Pass Filter, LP），它的任务是让低频信号通过，阻止高频信号。这张设计图纸上通常有以下几个关键参数：

(上图展示了一个典型的低通滤波器幅度响应图，你可以清晰地看到通带、阻带、过渡带以及各项关键指标)

• 通带（Passband）: 我们希望保留的频率范围。从0频率一直延伸到通带截止频率 ${\omega }_p$。
• 阻带（Stopband）: 我们希望滤除的频率范围。从阻带截止频率 ${\omega }_s$ 开始，一直到更高频率。
• 过渡带（Transition Band）: 介于通带和阻带之间的区域，即从 ${\omega }_p$ 到 ${\omega }_s$。理想情况下，我们希望这个带越窄越好，但在现实中，它总会存在。过渡带的宽度决定了滤波器从“通过”到“阻止”的转变有多“陡峭”。
• 通带最大衰减 $a_p$ (或通带波纹): 在通带内，信号的幅度不应该是完美的1（即完全不衰减），它会有一些微小的波动。$a_p$ (单位通常是dB) 定义了这种波动的上限。$a_p$ 越小，通带内的信号失真就越小。
• 阻带最小衰减 $a_s$: 在阻带内，我们希望信号被尽可能地衰减。$a_s$ (单位是dB) 定义了对不想要的频率信号的最小抑制程度。$a_s$ 越大，滤波器对噪声的抑制能力就越强。

这五个指标——${\omega }_p$, ${\omega }_s$, $a_p$, $a_s$——共同构成了我们设计IIR滤波器的“客户需求”。我们的任务，就是找到一个数学函数（即滤波器的系统函数 $H(z)$），使其频率响应能够满足这些指标要求。

巨人肩膀上的智慧：模拟滤波器这座桥梁

数字滤波器的设计，尤其是IIR滤波器的设计，有一条非常成熟和经典的路径，那就是 “间接法”。这个方法的核心思想是：不直接在数字世界里从零开始创造，而是先在模拟电路的世界里找到一个满足我们需求的优秀设计，然后再通过某种数学“翻译”方法，将它转换到数字世界。

为什么这么做？因为模拟滤波器的理论经过了近一个世纪的发展，已经积累了无数的“智慧结晶”。像巴特沃斯、切比雪夫、椭圆这些大神已经为我们准备好了各种性能优异的标准化设计方案。我们站在这些巨人的肩膀上，自然事半功倍。

让我们来认识一下两位最著名的“巨人”：

巴特沃斯 (Butterworth): 最平坦的通带

巴特沃斯滤波器被誉为“最平坦的滤波器”。它的核心特点是：在通带内，其幅度响应曲线像镜面一样平滑，没有任何波纹。它以一种非常平缓、单调的方式从通带过渡到阻带。

• 优点: 通带平坦意味着它对我们想保留的信号不会引入幅度失真，这在高质量音频等领域至关重要。
• 缺点: 为了换取这种平坦度，它的过渡带相对较宽。也就是说，它从“通过”到“阻止”的转变不够“陡峭”。如果你的通带和阻带频率靠得很近，可能需要一个阶数非常高的巴特沃斯滤波器才能满足要求。

切比雪夫 (Chebyshev): 追求极致的过渡带

切比雪夫滤波器则是一位“实用主义者”。它认为，在通带内允许一点点微小的、等幅的波纹（就像水面上的涟漪）是可以接受的。作为交换，它能提供比同阶巴特沃斯滤波器更窄的过渡带。

• 优点: 过渡带非常陡峭，能够很高效地分离靠得很近的频带。在很多应用中，通带内微小的波纹是可以忽略不计的。
• 缺点: 通带内的波纹会给信号带来轻微的幅度失真。此外，它的相位响应不如巴特沃斯滤波器线性。

(上图直观对比了三种经典模拟滤波器的特性。可以看到，巴特沃斯最平坦，切比雪夫过渡带更窄但通带有波纹，而椭圆滤波器在两者之间取得了极致的平衡，但设计也最复杂。)

通常，我们会根据设计指标（特别是对过渡带宽度和通带平坦度的要求）来选择合适的模拟滤波器原型。选定原型后，下一步就是如何将这个模拟设计 $H_a(s)$ “翻译”成我们需要的数字滤波器 $H(z)$。

从模拟到数字：两种核心“翻译”方法

将模拟滤波器系统函数 $H_a(s)$ 转换为数字滤波器系统函数 $H(z)$ 的过程，本质上是一个从S平面（模拟域）到Z平面（数字域）的映射过程。这里有两种主流的“翻译”技术：脉冲响应不变法和双线性变换法。

方法一：脉冲响应不变法

核心思想

脉冲响应不变法的思想非常直观：一个系统（无论是模拟还是数字）的特性完全由其单位脉冲响应所决定。那么，如果我们让数字滤波器的单位脉冲响应 $h(n)$，恰好是其对应的模拟滤波器单位脉冲响应 $h_a(t)$ 的采样版本，它们的特性不就应该很相似吗？

数学上，这个关系表示为：
$h(n)=T\cdot h_a(nT)$
其中，$T$ 是采样周期。这个 $T$ 是一个尺度因子，用以保证在频率为0时，数字和模拟滤波器的增益能够匹配。

S平面到Z平面的映射

通过拉普拉斯变换和Z变换的数学推导，我们可以找到这种方法下，S平面上的极点 $s_k$ 和Z平面上的极点 $z_k$ 之间的映射关系：
$z_k=e^{s_{k}T}$

这个映射关系非常优美。它能将S平面的左半平面（所有稳定模拟系统的极点所在地）完美地映射到Z平面的单位圆内部（所有稳定数字系统的极点所在地）。这意味着，一个稳定的模拟滤波器，通过脉冲响应不变法转换后，得到的数字滤波器也一定是稳定的。这是一个巨大的优点。

致命缺陷：频率混叠

然而，脉冲响应不变法有一个致命的缺陷——频率混叠（Aliasing）。

让我们看看频率轴是如何映射的。在S平面，频率轴是虚轴 $s=j\Omega$；在Z平面，频率轴是单位圆 $z=e^{j\omega }$。代入映射关系 $z=e^{sT}$，我们得到 $e^{j\omega }=e^{j\Omega T}$，也就是 $\omega =\Omega T$。

这看起来似乎是线性的，很美好。但问题在于，数字频率 $\omega$ 是周期性的，其范围是 $(-\pi ,\pi ]$。而模拟频率 $\Omega$ 的范围是 $(-\infty ,\infty )$。这意味着，模拟世界里无限长的频率轴，被“卷”起来，反复缠绕在数字世界的单位圆上。

这种缠绕的后果就是混叠。例如，一个很高频率的模拟信号分量，在被“翻译”到数字域后，可能会表现为一个低频信号，从而污染我们想要的结果。这就像你看一个快速旋转的车轮，当转速达到一定程度时，它看起来可能在倒转，这就是一种时间上的混叠。频率混叠是同一个道理。

由于混叠的存在，脉冲响应不变法只适用于那些带限特性非常好的模拟滤波器，比如理想的低通和带通滤波器。因为它们的频率响应在高频段几乎为零，所以即使发生混叠，影响也可以忽略不计。但对于高通或带阻滤波器，这种方法完全不适用。

方法二：双线性变换法 - 行业标准

为了解决频率混叠这个“顽疾”，工程师们发明了一种更强大、更可靠的“翻译”方法——双线性变换法（Bilinear Transform）。如今，它已成为设计IIR滤波器的行业标准方法。

核心思想与频率压缩

双线性变换法采用了一个不同的S平面到Z平面的映射关系：
$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$
这个公式看起来比 $z=e^{sT}$ 复杂，但它蕴含着解决混叠问题的“魔法”。这个变换能够将整个S平面的虚轴 $j\Omega$（从$-\infty$到$+\infty$），一对一地、不重不叠地映射到Z平面的单位圆上（从$\omega =-\pi$到$\omega =+\pi$）。

这个映射关系消除了混叠的根源，但它也付出了一个“代价”：频率关系不再是线性的。模拟频率 $\Omega$ 和数字频率 $\omega$ 之间的关系变成了一种非线性的“压缩”关系，我们称之为频率畸变（Frequency Warping）。

具体关系如下：
$$\Omega =\frac{2}{T}\tan \left(\frac{\omega }{2}\right)$$
而反过来，数字频率是：
$$\omega =2\arctan \left(\frac{\Omega T}{2}\right)$$

(上图展示了数字频率ω和映射后的模拟频率Ω之间的非线性关系。在低频段，两者近似线性；但在高频段，关系被严重“压缩”。)

关键步骤：预畸变 (Pre-warping)

既然频率会被“畸变”，那我们直接用给定的数字指标（如 ${\omega }_p,{\omega }_s$）去设计模拟滤波器，转换过来之后，截止频率不就跑到错误的位置了吗？

没错！为了解决这个问题，双线性变换法引入了一个至关重要的步骤——频率预畸变（Pre-warping）。

这个思想非常巧妙：既然我们知道最终的变换会如何“扭曲”频率，那我们就在设计模拟滤波器之前，先对我们的目标频率进行一次“反向扭曲”。

具体来说，我们拿到数字滤波器的设计指标 ${\omega }_p$ 和 ${\omega }_s$ 后，并不直接用它们。而是通过频率畸变公式，计算出它们在进行双线性变换之前，应该对应的模拟频率 ${\Omega }_p$ 和 ${\Omega }_s$ 是多少：

$${\Omega }_p=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{{\omega }_p}{2}\right)$$
$${\Omega }_s=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{{\omega }_s}{2}\right)$$
我们称这对 $({\Omega }_p,{\Omega }_s)$ 为预畸变后的模拟技术指标。

然后，我们用这对新的、经过预畸变的模拟指标 $({\Omega }_p,{\Omega }_s)$，以及原始的衰减指标 $(a_p,a_s)$，去设计我们的模拟滤波器原型 $H_a(s)$。

最后，当我们对这个设计好的 $H_a(s)$ 应用双线性变换公式 $s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 时，那个非线性的频率畸变效应，会恰好将我们精心设计的 ${\Omega }_p$ 和 ${\Omega }_s$ “扭曲”回我们最初想要的数字频率 ${\omega }_p$ 和 ${\omega }_s$。完美！

总结一下，使用双线性变换法设计IIR滤波器的完整流程如下：

1. 确定数字指标: 明确你的需求，写下数字滤波器的技术指标：${\omega }_p,{\omega }_s,a_p,a_s$。同时确定采样周期 $T$（在很多题目中，为了简化，会令 $T=2$）。
2. 频率预畸变: 使用预畸变公式，将数字截止频率 ${\omega }_p,{\omega }_s$ 转换为模拟截止频率 ${\Omega }_p,{\Omega }_s$。
3. 设计模拟滤波器: 使用 $({\Omega }_p,{\Omega }_s,a_p,a_s)$ 这套模拟指标，选择并设计一个合适的模拟滤波器（如巴特沃斯或切比雪夫），得到其系统函数 $H_a(s)$。
4. 进行双线性变换: 将 $s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 代入 $H_a(s)$ 中，化简后得到最终的数字滤波器系统函数 $H(z)$。

这个流程逻辑严密，结果精确，是IIR滤波器设计中最重要、最实用的方法。

设计其他滤波器？小菜一碟！

我们上面一直以低通滤波器为例。那如果想设计高通（HP）、带通（BP）或者带阻（BS）滤波器呢？

其实过程大同小异，核心依然是双线性变换法。我们只需要在上述流程的第3步“设计模拟滤波器” 中稍作调整。

我们不需要为每种滤波器类型都重新发明一套理论。模拟滤波器设计理论已经为我们提供了非常方便的频率变换公式，可以轻松地将一个设计好的归一化低通滤波器转换为任何其他类型（高通、带通、带阻）的滤波器。

所以，设计一个数字高通滤波器的流程就变成了：

1. 确定数字高通指标。
2. 对数字指标进行预畸变，得到模拟高通指标。
3. 将模拟高通指标，通过模拟频率变换，转换为等效的归一化低通指标。
4. 设计这个归一化模拟低通滤波器 $H_{LP}(p)$。
5. 将 $H_{LP}(p)$ 通过反向的模拟频率变换，得到我们想要的模拟高通滤波器 $H_a(s)$。
6. 对 $H_a(s)$ 进行双线性变换，得到最终的数字高通滤波器 $H(z)$。

虽然步骤看起来多了，但每一步都是公式化的，计算机可以轻松完成。核心思想没变：所有复杂的设计都先在成熟的模拟低通域完成，然后再一步步“翻译”和“变换”到我们最终的目标上。

总结：IIR滤波器的选择与权衡

我们今天深入探讨了IIR数字滤波器的设计之旅。让我们回顾一下核心要点：

1. IIR滤波器设计是“借力”的艺术：它巧妙地利用了成熟的模拟滤波器理论，通过“间接法”来完成设计，保证了高效和高性能。
2. 指标是设计的起点：一切设计都始于明确的技术指标（${\omega }_p,{\omega }_s,a_p,a_s$）。
3. 双线性变换是王道：虽然脉冲响应不变法思想直观，但其频率混叠问题使其应用受限。双线性变换法通过非线性的频率映射彻底解决了混叠问题，是当之无愧的行业标准。
4. 预畸变是关键技巧：为了克服双线性变换带来的频率畸变，我们在设计模拟滤波器前必须进行“预畸变”校正，确保最终的数字滤波器截止频率精确无误。
5. IIR的优缺点：IIR滤波器的最大优点是高效。它可以用很低的阶数（意味着更少的计算和存储）就实现非常陡峭的频率响应。但它的代价是非线性相位，这可能会对某些信号（如图像或需要精确定位的脉冲信号）的波形造成影响。

在下一篇文章中，我们将探讨另一种滤波器——FIR（有限脉冲响应）滤波器。它虽然在计算效率上不如IIR，但它拥有IIR无法比拟的优点：严格的线性相位。理解IIR和FIR的各自特点，将让你在未来的工程实践中，能够根据具体需求做出最明智的选择。

习题

现在，通过几个小练习来巩固一下今天学到的知识吧！

第1题 (概念题)

在使用脉冲响应不变法设计IIR滤波器时，为什么通常不推荐用它来设计高通滤波器？其根本原因是什么？

第2题 (计算题)

假设我们要用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其通带截止频率为 ${\omega }_p=0.2\pi$ rad/sample，阻带截止频率为 ${\omega }_s=0.4\pi$ rad/sample。为了简化计算，我们设采样周期 $T=2$。请计算在设计模拟滤波器原型之前，需要使用的预畸变模拟频率 ${\Omega }_p$ 和 ${\Omega }_s$ 是多少？

第3题 (应用选择题)

在一个实时语音降噪系统中，主要目标是滤除高于3400Hz的背景噪声，同时要尽可能地节省计算资源（例如在嵌入式设备上运行）。你认为选择巴特沃斯IIR滤波器还是切比雪夫IIR滤波器更合适？为什么？

答案

第1题答案:

根本原因是频率混叠 (Aliasing)。脉冲响应不变法的S平面到Z平面映射会将无限长的模拟频率轴 $j\Omega$ 多次缠绕到Z平面的单位圆上。高通滤波器的特性是在高频段有显著的响应，这些高频响应在映射过程中会混叠到低频区域，严重破坏数字滤波器的低频特性（本应是通带或过渡带），导致设计完全失败。

第2题答案:

我们使用频率预畸变公式 $\Omega =\frac{2}{T}\tan (\frac{\omega }{2})$，并代入 $T=2$。

对于通带截止频率：
$${\Omega }_p=\frac{2}{2}\tan \left(\frac{0.2\pi }{2}\right)=\tan (0.1\pi )\approx \tan (18^{\circ })\approx 0.3249\text{ rad/s}$$

对于阻带截止频率：
$${\Omega }_s=\frac{2}{2}\tan \left(\frac{0.4\pi }{2}\right)=\tan (0.2\pi )\approx \tan (36^{\circ })\approx 0.7265\text{ rad/s}$$
所以，我们应该使用 ${\Omega }_p\approx 0.3249$ 和 ${\Omega }_s\approx 0.7265$ 这对模拟频率指标去设计模拟滤波器原型。

第3题答案:

选择切比雪夫IIR滤波器更合适。

原因如下：

1. 计算资源: 题目要求节省计算资源，这意味着我们需要一个阶数尽可能低的滤波器。
2. 过渡带: 语音信号和高频噪声的分界是明确的，我们需要一个较窄的过渡带来有效地分离它们。在相同的阶数下，切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有更窄的过渡带。反过来说，要达到相同的过渡带要求，切比雪夫滤波器所需的阶数更低，也就更节省计算资源。
3. 通带波纹: 语音通信对相位的要求不高，对通带内微小的幅度波纹也不敏感。因此，切比雪夫滤波器“通带波纹”这个缺点在语音应用中是可以接受的。

综上所述，用切比雪夫滤波器可以用更低的成本（阶数）达到设计目标，是更合适的选择。