在设计多级抽取滤波器时，**每级抗混叠滤波器的采样频率应基于抽取之前的频率（即当前级的输入采样频率）**来设计。以下是关键点分析：
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### **原因与设计逻辑**
1. **抗混叠滤波器的核心作用**
抗混叠滤波器的作用是限制信号带宽，确保在抽取后不会因频谱重叠（混叠）而引入失真。因此，滤波器的截止频率必须根据**抽取后的奈奎斯特频率**（即抽取后采样频率的一半）确定，但其**实现时的采样频率是抽取前的**。
2. **具体设计步骤**
- **第\(i\)级滤波器参数**：
- **输入采样频率**：\(f_{s,i}\)（当前级抽取前的频率）。
- **抽取因子**：\(D_i\)（抽取后频率为\(f_{s,i+1} = f_{s,i}/D_i\)）。
- **截止频率**：必须小于抽取后的奈奎斯特频率，即\(f_c < \frac{f_{s,i+1}}{2} = \frac{f_{s,i}}{2D_i}\)。
- **滤波器设计**：以\(f_{s,i}\)为采样频率，设计低通滤波器（如FIR或IIR），抑制高于\(\frac{f_{s,i}}{2D_i}\)的频率分量。
3. **多级抽取的优势**
通过多级实现，每级的抗混叠滤波器过渡带可以更宽（因为后续级会进一步降采样），从而降低滤波器阶数和计算复杂度。例如：
- 第一级滤波器：过渡带可能从\(\frac{f_{s,1}}{2D_1}\)到\(\frac{f_{s,1}}{2}\)（较宽松）。
- 最后一级滤波器：过渡带严格逼近最终输出频率的奈奎斯特限。
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### **示例说明**
假设目标是从\(f_s = 1000\,\text{Hz}\)抽取到\(100\,\text{Hz}\)（总抽取因子\(D=10\)），分两级完成（\(D_1=5\)、\(D_2=2\)）：
1. **第一级**：
- 输入频率：\(1000\,\text{Hz}\)，抽取后：\(200\,\text{Hz}\)。
- 抗混叠滤波器截止频率：\(<100\,\text{Hz}\)（即\(200/2\)），按\(1000\,\text{Hz}\)采样率设计。
2. **第二级**：
- 输入频率：\(200\,\text{Hz}\)，抽取后：\(100\,\text{Hz}\)。
- 抗混叠滤波器截止频率：\(<50\,\text{Hz}\)（即\(100/2\)），按\(200\,\text{Hz}\)采样率设计。
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### **常见误区**
- **错误做法**：直接使用抽取后的频率设计滤波器（例如用\(200\,\text{Hz}\)设计第一级滤波器），这会导致滤波器无法有效抑制混叠，因为实际输入信号仍以\(1000\,\text{Hz}\)采样。
- **正确理解**：滤波器的采样频率始终是当前级的输入频率，但截止频率由抽取后的频率决定。
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### **总结**
- **采样频率**：抗混叠滤波器的设计基于**当前级的输入采样频率**（抽取前）。
- **截止频率**：由**抽取后的奈奎斯特频率**决定（即下一级的采样频率一半）。
- **多级设计**：通过分级降低采样率，逐步收紧滤波器要求，优化计算效率。