OpenCV C++ 图像处理教程：灰度变换与直方图分析

在数字图像处理领域，灰度变换与直方图分析是最基础且核心的技术，它们如同 “图像的化妆师”，能够通过调整像素灰度分布显著改善图像视觉效果，为后续的目标检测、图像分割等高级任务奠定基础。无论是校正图像的亮度与对比度，还是从低质量图像中提取有效信息，掌握这些技术都是图像处理从业者的必备技能。

一、点运算（Point Operation）

1. 概念

点运算是图像处理中最基础的操作之一，指对图像中每个像素点的灰度值进行独立变换，输出像素仅取决于输入像素的灰度值，与像素的空间位置无关。其数学表达式为：

$g(x,y)=T[f(x,y)]$

其中，$f(x,y)$ 是输入图像像素值，$g(x,y)$ 是输出图像像素值，$T$ 是点运算变换函数。

2. 分类

• 灰度变换：直接对像素灰度值进行映射变换（如线性变换、伽马变换）。

• 直方图操作：基于像素灰度分布的全局变换（如直方图均衡化、直方图规定化）。

3. 特点

• 运算仅依赖单个像素值，不涉及邻域信息。

• 可高效实现图像对比度增强、动态范围调整等功能。

4. 应用

• 图像预处理（灰度化、噪声抑制）。

• 图像增强（对比度调整、动态范围压缩）。

二、灰度变换（Gray Level Transformation）

1. 概述

灰度变换是点运算的核心分支，通过设计特定变换函数，调整图像灰度范围或分布，改善视觉效果或突出感兴趣区域。

2. 主要作用

• 扩展或压缩图像灰度动态范围。

• 增强图像对比度或校正非线性光照影响。

• 将图像灰度值映射到指定区间（如 [0, 255]）。

3. 常用方法

3.1 灰度化（Gray Scale Conversion）

将彩色图像转换为灰度图像，常用加权平均法：

$\text{Gray}=0.299R+0.587G+0.114B$

OpenCV 实现：

#include <opencv2/opencv.hpp>

cv::Mat grayScale(const cv::Mat& img) {
    cv::Mat gray;
    cv::cvtColor(img, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY); // 内置灰度化函数
    return gray;
}

3.2 线性变换（Linear Transformation）

公式：

$g(x,y)=a\cdot f(x,y)+b$

• $a>1$：增强对比度；$a<1$：压缩对比度；$b$ 调整整体亮度。

  代码实现：

cv::Mat linearTransform(const cv::Mat& img, double a, double b) {
    cv::Mat result = cv::Mat::zeros(img.size(), img.type());
    for (int i = 0; i < img.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < img.cols; j++) {
            // saturate_cast确保像素值在[0,255]范围内，避免溢出
            result.at<uchar>(i,j) = cv::saturate_cast<uchar>(a * img.at<uchar>(i,j) + b);
        }
    }
    return result;
}

3.3 分段线性变换（Piecewise Linear Transformation）

将灰度区间分为多段，每段采用不同线性变换，突出感兴趣区域的对比度。

公式（三段变换）：

$$\{\begin{array}{ll}{a}_{1}f(x)+b_1,& f(x)\in [0,c_1]\\ a_{2}f(x)+b_2,& f(x)\in (c_1,c_2]\\ a_{3}f(x)+b_3,& f(x)\in (c_2,L-1]\end{array}$$ 代码实现（以增强中间灰度为例）：

cv::Mat piecewiseLinear(const cv::Mat& img, int c1, int c2, double a1, double a2, double a3) {
   cv::Mat result = img.clone();
   for (int i = 0; i < img.rows; i++) {
       const uchar* ptr = img.ptr<uchar>(i);
       uchar* res_ptr = result.ptr<uchar>(i);
       for (int j = 0; j < img.cols; j++) {
           if (ptr[j] <= c1) {
               res_ptr[j] = cv::saturate_cast<uchar>(a1 * ptr[j]);
           } else if (ptr[j] <= c2) {
               res_ptr[j] = cv::saturate_cast<uchar>(a2 * (ptr[j] - c1) + a1 * c1);
           } else {
               res_ptr[j] = cv::saturate_cast<uchar>(a3 * (ptr[j] - c2) + a2 * (c2 - c1) + a1 * c1);
           }
       }
   }
   return result;
}

3.4 对数变换（Logarithmic Transformation）

公式： $$g(x,y)=c\cdot \log (1+f(x,y))$$
作用：压缩高灰度值动态范围，增强低灰度区域对比度（如傅里叶频谱显示）。
代码实现：

cv::Mat logTransform(const cv::Mat& img, double c) {
   cv::Mat result;
   img.convertTo(result, cv::CV_64F); // 转换为双精度浮点型，避免溢出
   result = c * cv::log(1 + result); // 应用对数变换
   // 归一化到[0,255]区间，convertTo用于类型转换
   cv::normalize(result, result, 0, 255, cv::NORM_MINMAX, cv::CV_8UC1); 
   return result;
} 

3.5 反对数变换（Antilogarithmic Transformation）

公式： $$g(x,y)=c\cdot (e^{f(x,y)}-1)$$
作用：与对数变换相反，扩展高灰度区域对比度。
代码实现：

cv::Mat antilogTransform(const cv::Mat& img, double c) {
   cv::Mat result;
   img.convertTo(result, cv::CV_64F); // 转换为双精度浮点型
   cv::exp(result, result); // 计算每个像素的指数值（e^f(x,y)）
   result = c * (result - 1); // 应用反对数变换公式
   // 归一化到[0,255]区间，确保输出为8位无符号整数
   cv::normalize(result, result, 0, 255, cv::NORM_MINMAX, cv::CV_8UC1); 
   return result;
} 

3.6 伽马变换（Gamma Transformation）

公式： $$g(x,y)=c\cdot [f(x,y){]}^{\gamma }$$ $\gamma >1$：压缩高灰度，增强低灰度对比度； $\gamma <1$：扩展高灰度，增强高灰度对比度（常用于校正显示器非线性响应）。
代码实现：

cv::Mat gammaTransform(const cv::Mat& img, double gamma) {
 // 创建查找表(LUT)，大小为1x256，数据类型为8位无符号整数
 cv::Mat lookUpTable(1, 256, cv::CV_8UC1);
 uchar* p = lookUpTable.ptr(); // 获取查找表的指针
 
 // 填充查找表：对每个可能的灰度值(0-255)计算对应的伽马变换结果
 for (int i = 0; i < 256; i++) {
     // 1. i / 255.0：将灰度值归一化到 [0,1] 范围
     // 2. std::pow(..., gamma)：应用伽马变换
     // 3. ... * 255.0：将结果映射回 [0,255] 范围
     // 4. cv::saturate_cast<uchar>：确保结果在 [0,255] 内，防止溢出
     p[i] = cv::saturate_cast<uchar>(std::pow(i / 255.0, gamma) * 255.0);
 }
 
 // 应用查找表：将原始图像的每个像素值通过查找表快速替换为变换后的值
 cv::Mat result;
 cv::LUT(img, lookUpTable, result); // LUT = Look-Up Table
 
 return result;
}

4. 数据类型转换与范围处理

在图像处理中，数据类型转换和像素值范围控制是核心操作，OpenCV提供了三个重要工具：

1. cv::convertTo()
   用于将图像转换为指定的数据类型，并可同时进行缩放：

// 语法：src.convertTo(dst, dstType, scale=1, shift=0)
src.convertTo(dst, cv::CV_32F, 1.0/255); // [0,255] → [0,1]（浮点型）    

作用：避免计算过程中数据溢出，支持浮点运算（如对数变换、伽马变换）。
2. cv::normalize()
用于归一化图像像素值到指定范围（如 [0,255] 或 [0,1]）：

// 语法：normalize(src, dst, alpha, beta, norm_type, dtype=src.type())
cv::normalize(img, img_norm, 0, 255, cv::NORM_MINMAX, cv::CV_8UC1); // 归一化到0-255    

作用：将浮点运算结果映射回8位无符号整数范围，确保图像显示正常。
3. cv::saturate_cast<>
模板函数，确保像素值在目标数据类型范围内（如 uchar 的 [0,255]），防止溢出：

// 示例：当计算值为300时，返回255；值为-50时，返回0
result.at<uchar>(i,j) = cv::saturate_cast<uchar>(calculated_value);  

**作用**：避免因计算误差导致的像素值越界，保证图像数据合法性。  

三、直方图（Histogram）

1. 概念

直方图是图像灰度值的概率分布统计，横轴为灰度值（0~255），纵轴为该灰度值出现的像素数或频率。 数学定义： $$H(k)=\sum _{i=0}^{M-1}\sum _{j=0}^{N-1}\delta (f(i,j),k)$$
其中，$k$ 为灰度值，$\delta$ 为指示函数（相等时为1，否则为0），$M\times N$ 为图像尺寸。 作用：直观反映图像的明暗分布特征，是图像增强的重要依据。

2. 直方图获取

使用 OpenCV 的 cv::calcHist 函数，支持单通道或多通道图像统计：

cv::Mat getHistogram(const cv::Mat& img) {
    int histSize = 256; // 灰度级数量
    float range[] = {0, 256}; // 灰度值范围（左闭右开）
    const float* histRanges = {range}; // 范围指针
    cv::Mat hist; // 输出直方图（1x256矩阵）

// 参数说明：
// &img: 输入图像指针
// 1: 输入图像数量
// 0: 通道索引（0表示第一个通道，灰度图只有一个通道）
// cv::Mat(): 掩码（无掩码时用空矩阵）
// hist: 输出直方图
// 1: 直方图维度（灰度图为1D）
// &histSize: 各维度的灰度级数量
// &histRanges: 灰度范围
// true: 是否归一化（此处false表示统计像素数）
// false: 直方图是否均匀分桶（此处默认false）
cv::calcHist(&img, 1, 0, cv::Mat(), hist, 1, &histSize, &histRanges, true, false);
return hist;

3. 直方图均衡化（Histogram Equalization）

通过将累计分布函数（CDF）作为变换函数，使图像灰度分布均匀化，增强全局对比度。

3.1 公式推导（详细步骤） 1. 计算原始直方图

统计每个灰度级 $k$ 出现的像素数量 $h(k)$： $$h(k)=\sum _{i=0}^{M-1}\sum _{j=0}^{N-1}\delta (f(i,j)-k)$$
结果是一个长度为256的数组，$h(k)$ 表示灰度值为 $k$ 的像素总数。
2. 计算概率密度函数（PDF, Probability Density Function）
将直方图归一化，得到每个灰度级的出现概率： $$p_r(k)=\frac{h(k)}{M\times N}$$
$p_r(k)$ 表示像素值为 $k$ 的概率，取值范围为 [0, 1]。
3. 计算累计分布函数（CDF, Cumulative Distribution Function）
累计所有小于等于当前灰度级的概率，反映灰度值的分布累积情况： $$CDF(k)=\sum _{i=0}^k{p}_r(i)=\frac{1}{M\times N}\sum _{i=0}^{k}h(i)$$
$CDF(k)$ 表示像素值小于等于 $k$ 的概率，是一个单调非递减函数，范围为 [0, 1]。
4. 灰度映射变换
将CDF值映射到新的灰度范围 [0, L-1]（L=256），公式为： $$s(k)=\lfloor (L-1)\cdot CDF(k)\rfloor$$
- $\lfloor \cdot \rfloor$ 为向下取整操作，确保结果为整数灰度级。
- 单调性：CDF的单调特性保证映射后灰度级顺序不变，避免图像反色。
- 均匀化效果：通过扩展原始图像中频繁出现的灰度级区间，使直方图更平坦，提升对比度。

3.2 实现方法

方法一：OpenCV 内置函数（快速实现）

cv::Mat equalizeHistogram(const cv::Mat& img) {
 cv::Mat eqImg;
 cv::equalizeHist(img, eqImg); // 仅适用于单通道灰度图像
 return eqImg;
} 

方法二：自定义实现（原理）

cv::Mat customEqualizeHist(const cv::Mat& img) {
   // 1. 计算直方图
   cv::Mat hist = getHistogram(img);
   
   // 2. 计算累计分布函数（CDF），存储每个灰度级的累计像素数
   std::vector<float> cdf(256, 0);
   cdf[0] = hist.at<float>(0); // 初始灰度级0的累计像素数
   for (int i = 1; i < 256; i++) {
       cdf[i] = cdf[i-1] + hist.at<float>(i); // 累加后续灰度级的像素数
   }
   
   // 3. 创建灰度映射查找表（LUT, Look-Up Table）
   cv::Mat lookUpTable(1, 256, cv::CV_8UC1);
   uchar* lut = lookUpTable.ptr(); // 查找表指针
   for (int i = 0; i < 256; i++) {
       // 归一化CDF到[0,1]：累计像素数 / 总像素数
       // 乘以255映射到[0,255]，saturate_cast确保值在uchar范围内
       lut[i] = cv::saturate_cast<uchar>(255.0 * cdf[i] / (img.rows * img.cols));
   }
   
   // 4. 应用查找表到原始图像（逐像素映射）
   cv::Mat result;
   cv::LUT(img, lookUpTable, result); // LUT函数实现快速映射
   return result;
}