【数论快速指数幂】P9915 「RiOI-03」3-2|普及+-EW帮帮网

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
快速指数幂

P9915 「RiOI-03」3-2

题目背景

Heart beat to death.

题目描述

给定一个正整数 $n$ 。将 $0,2^n)$ 中每个整数的二进制最低 $n$ 位从低到高依次写在一个 $2^n\times n$ 的矩阵上。矩阵两维的下标都从 $0$ 开始。 如，当 $n = 3$ 时，矩阵是这样的：

给定 $q$ 次询问，每次询问这个矩阵下标为 $(x, y)$ 的格子所在的四连通块大小对 $998244353$ 取模的值。

输入格式

第一行两个正整数 $n, q$ 。

接下来 $q$ 行，每行两个非负整数 $x, y$ ，表示一次询问。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数，表示每次询问答案对 $998244353$ 取模的值。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2
1 1
2 0

输出 #1

3
1

说明/提示

【样例 #1 解释】

图为 $n = 2$ 时的矩阵，其中同一个颜色的为一个四连通块。

【数据范围】

本题开启捆绑测试。

$\text{SubTask}$	分值	$n\le$	$q\le$
$0$	$5$	$15$	$15$
$1$	$20$	$15$	$5\times 10^5$
$2$	$25$	$5\times 10^3$	$5\times 10^3$
$3$	$50$	$10^{18}$	$5\times 10^5$

对于 $100\%$ 的数据， $0\le y\lt n\le 10^{18}$ ， $0\le x\lt \min(2^n, 10^{18})$ ， $1\le q\le 5\times 10^5$ 。

请选用较快的输入输出方式。

数论

第y列：以 $2^y为周期$ ，偶数周期为0，奇数周期为1，且所有周期都是完整的。
$\forall(x,y)$ 所在连通块在第i列的长度 $2^i,i \le y$
如果 $x,y+1)和(x,y)连通，则连通块第y+1列的长度为2^{y+1}，否则为0。$ 为0结束迭代，否则继续迭代。
求最小z， $\neq (x,z)$
结果为 $\sum_{i:0}^{z-1}2^i=2^z-1$
周期数奇偶性相同，则值相同。
列数最大 $n=10^{18}$ ,但 $\approx 60$ 时 $2^z \ge x$ ，即后面的列全部时0。要么全部是，要么全部不是。
时间复杂度：O(Qlogn)

实现

z = y；
当 (z < N )且((x,y)和(x,z))相同且 (x >= 2^z){z++};
if( N== z) 返回z。
((x,y)和(x,z))不同返回z
如果(x,y)是1，反回z。
返回N。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
	{

	}
	C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this *= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(T2 n)const
	{
		C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	T1 ToInt()const
	{
		return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	T1 m_iData = 0;;
};
typedef C1097Int< 998244353> BI;
class Solution {
public:
	vector<int> Ans(long long n, const vector<pair<long long, long long>>& que) {
		vector<int> ans;
		for (const auto& [r, c] : que) {
			auto GetZ = [&](long long r, long long c) {
				if (c > 61) { return n; }
				long long z = c;
				const long long c2 = 1LL << c;
				long long z2 = c2;
				while ((z < n) && (0 == (r / c2 + r / z2) % 2) && (r >= z2)) {
					z++; z2 *= 2;
				}
				if (z == n) { return z; }
				if (0 != (r / c2 + r / z2)) { return z; }
				if (r / c2 & 1) { return z; }
				return n;
			};
			BI cur = BI(2).pow(GetZ(r, c)) - 1;
			ans.emplace_back(cur.ToInt());
		}
		return ans;;
	};
};


int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	long long N;
	cin >> N;
	auto que = Read<pair<long long, long long>>();

#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d,M=%d", N,M);
		//Out(v, ",v=");
		//Out(B, ",B=");
		//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG		
		Solution slu;
		auto res = Solution().Ans(N,que);
		for (const auto& i : res) {
			cout << i << "\n";
		}
	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod1)
		{			
			auto res = Solution().Ans(2, { {1,1},{2,0} });
			AssertEx({3,1}, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

【数论快速指数幂】P9915 「RiOI-03」3-2|普及+

本文涉及知识点

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输出格式

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输入 #1

输出 #1

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输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

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