拓扑排序算法
前置知识：
1.DAG图：一个无环的有向图，即有向无环图。
2.AOV网络：在⼀个表示⼯程的有向图中，⽤顶点表示活动，⽤弧表示活动之间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的⽹（Activity On Vertex Network），简称AOV⽹。
拓扑排序：其实就是对⼀个DAG图构造拓扑序列的过程。
拓扑排序算法：kahn（卡恩）算法（基于BFS）和 基于DFS的算法。
kahn（卡恩）算法
可以判环
时间复杂度：O(V+E)
有环就没有拓扑序列
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
//有向图------>判环
int n,m;
struct Edge{//只求拓扑序列不用带边权
int to,next;
}e[10005];
int h[105];
int ind[105];//入度
int cnt;
int topo[105],k=0;
void add(int u,int v){
e[cnt].to=v;
e[cnt].next=h[u];
h[u]=cnt;
cnt++;
}
bool kahn(){
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(ind[i]==0){
q.push(i);
}
}
int x,y;
while(!q.empty()){
x=q.front();
q.pop();
topo[++k]=x;//从1开始计数
for(int i=h[x];i!=-1;i=e[i].next) {
y=e[i].to;
ind[y]--;
if(ind[y]==0) q.push(y);
}
}
if(k==n) return true;//无环
else return false;//成环
}
int main(){
cin>>n>>m;
memset(h,-1,sizeof h);
int u,v;
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>u>>v;
add(u,v);
ind[v]++;
}
if(kahn()){
for(int i=1;i<=k;++i){
cout<<topo[i]<<" ";
}
} else{
cout<<"有环\n";
}
return 0;
}
例题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
int n;
struct Edge{
int to,next;
}e[100005];
int h[10005],cnt;
int ind[10005];
int t[10005];//每个点需要的时间
int ed[10005];//每个点的完成时间
void add(int u,int v){
e[cnt].to=v;
e[cnt].next=h[u];
h[u]=cnt;
cnt++;
}
void kahn(){
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(ind[i]==0){
q.push(i);
ed[i]=t[i];//没有前置活动
}
}
int u,v;
while(!q.empty()){
u=q.front();
q.pop();
for(int i=h[u];~i;i=e[i].next){
v=e[i].to;
ind[v]--;
ed[v]=max(ed[v],ed[u]+t[v]); //更新y的结束时间
if(ind[v]==0){
q.push(v);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n;
int u,v;
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>u;
cin>>t[u];//注意不要同行读入
while(cin>>v){
if(v==0) break;
add(u,v);
ind[v]++;
}
}
kahn();
int ans=-1;
for(int i=1;i<=n;++i){
ans=max(ans,ed[i]);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
[P1983 NOIP 2013 普及组] 车站分级 - 洛谷
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
int n,m;
vector<int> g[1005];
int s[1005];
int flag[1005];
int pd[1005][1005];//判断i--> j 的边是否已经建立
int ind[1005];
int le[1005];//级别
void kahn(){
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(ind[i]==0){
q.push(i);
le[i]=1;
}
}
int x,y;
while(!q.empty()){
x=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<g[x].size();i++){
y=g[x][i];
le[y]=max(le[y],le[x]+1);
ind[y]--;
if(ind[y]==0){
q.push(y);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
int sn;
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>sn;//第i趟线路停靠sn个站
memset(flag,0,sizeof(flag));
for(int j=1;j<=sn;++j){
cin>>s[j];
flag[s[j]]=1;//s[j]站停靠了
}
for(int j=s[1];j<=s[sn];j++){//枚举该线路中所有没停靠的站
if(flag[j]==1) continue;
for(int k=1;k<=sn;k++){
if(pd[j][s[k]]==0){//避免重复建边
g[j].push_back(s[k]);
pd[j][s[k]]=1;
ind[s[k]]++;
}
}
}
}
kahn();
int ans=-1;
for(int i=1;i<=n;++i){
ans=max(ans,le[i]);
}
cout<<ans;
return 0;
}
基于DFS的算法
时间复杂度：O(V+E)
直接求
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
//有向图------>保证是DAG图 无环
int n,m;
struct Edge{//只求拓扑序列不用带边权
int to,next;
}e[10005];
int h[105];
int ind[105];//入度
int cnt;
stack<int> topo;
int vis[105];
void add(int u,int v){
e[cnt].to=v;
e[cnt].next=h[u];
h[u]=cnt;
cnt++;
}
void DFS(int x){
vis[x]=1;
int y;
for(int i=h[x];~i;i=e[i].next){
y=e[i].to;
if(vis[y]==0){
DFS(y);
}
}
topo.push(x);//返回时入栈
}
int main(){
cin>>n>>m;
memset(h,-1,sizeof h);
int u,v;
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>u>>v;
add(u,v);
ind[v]++;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
if(vis[i]==0){
DFS(i);
}
}
while(!topo.empty()){
cout<<topo.top()<<" ";
topo.pop();
}
return 0;
}
可以判环
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
//有向图------>判环
int n,m;
struct Edge{//只求拓扑序列不用带边权
int to,next;
}e[10005];
int h[105];
int ind[105];//入度
int cnt;
stack<int> topo;
int vis[105];
//vis[i]=0 还未走过/还未遍历过
// =1 该点及其后面所有的点已经访问完了---->回溯时标记为1
// =2 这个点走过一次了 现在正在遍历该点后面的点---->第一次访问标记为2
int flag=0;//标记是否有环
void add(int u,int v){
e[cnt].to=v;
e[cnt].next=h[u];
h[u]=cnt;
cnt++;
}
void DFS(int x){
vis[x]=2;
int y;
for(int i=h[x];~i;i=e[i].next){
y=e[i].to;
if(vis[y]==2){
flag=1;
//ans=y; //可以用ans来记录环从哪里开始
return ;
}
else if(vis[y]==0){
DFS(y);
if(flag==1){
return ;
}
}
}
topo.push(x);//返回时入栈
vis[x]=1; //x及其后面的点访问结束
}
int main(){
cin>>n>>m;
memset(h,-1,sizeof h);
int u,v;
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>u>>v;
add(u,v);
ind[v]++;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
if(vis[i]==0){
DFS(i);
}
}
if(flag==1){
cout<<"有环"<<endl;
return 0;
}
while(!topo.empty()){
cout<<topo.top()<<" ";
topo.pop();
}
return 0;
}