leetcode热题——组合

组合

题目描述

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：
输入：n = 4, k = 2 输出： [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4] ]

示例 2：
输入：n = 1, k = 1 输出：[ [1] ]

提示：
1 <= n <= 20
1 <= k <= n

思路构建

本题直接的解法当然是利用for循环暴力搜索，例如 k=2时，用两个for循环就能得到结果,如下所示：

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

但一旦当k变得很大时就必须嵌套很多for循环，这显然是不显示的，而回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

为了方便理解，我们可以将递归过程转化为一个树结构，如下所示： 

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

解题步骤

按照回溯三部曲的模板套路来进行：

1.递归函数的返回值以及参数
定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

startIndex 可以防止出现重复的组合。

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

2.回溯函数终止条件
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
}

3.单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

执行过程示例

为了方便理解递归过程，以 n=4, k=2 为例，一步步拆解递归流程

第一层递归（startIndex=1，需选第 1 个元素）

for (i=1; i<=4; i++) {
  i=1：
    path.push_back(1) → path = [1]
    递归调用 backtracking(4, 2, 2)  // 下一层从 2 开始，选第 2 个元素
    （递归返回后）path.pop_back() → path = []

  i=2：
    path.push_back(2) → path = [2]
    递归调用 backtracking(4, 2, 3)
    （返回后）path.pop_back() → path = []

  i=3：
    path.push_back(3) → path = [3]
    递归调用 backtracking(4, 2, 4)
    （返回后）path.pop_back() → path = []

  i=4：
    path.push_back(4) → path = [4]
    递归调用 backtracking(4, 2, 5)
    （返回后）path.pop_back() → path = []
}

第二层递归（startIndex=2，需选第 2 个元素）

// 此时 path = [1]，需选第 2 个元素，startIndex=2
for (i=2; i<=4; i++) {
  i=2：
    path.push_back(2) → path = [1,2]（长度=k=2，加入结果集）
    递归终止，返回上层
    path.pop_back() → path = [1]

  i=3：
    path.push_back(3) → path = [1,3]（加入结果集）
    返回上层，path.pop_back() → path = [1]

  i=4：
    path.push_back(4) → path = [1,4]（加入结果集）
    返回上层，path.pop_back() → path = [1]
}

通过上述流程，最终会生成所有符合条件的组合：[1,2], [1,3], [1,4], [2,3], [2,4], [3,4]。

C++ 代码实现

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

剪枝优化

原代码的 for 循环遍历范围是 i = startIndex 到 i <= n，但部分循环是无效的（剩余元素不足以选够 k 个），可通过剪枝减少不必要的迭代。

剪枝原理
假设当前 path 中已有 m 个元素（m = path.size()），还需要选择 k - m 个元素。 剩余可选元素从 i 到 n，共 n - i + 1 个元素。 为了能选够 k - m 个元素，需满足：n - i + 1 >= k - m → 变形得 i <= n - (k - m) + 1。

若 i 超过这个值，即使选择 i，剩余元素也不够，无需继续循环。

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了，如下图所示： 

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

优化过程

• 已经选择的元素个数：path.size();

• 还需要的元素个数为: k - path.size();

• 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

所以优化之后的for循环是

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置