【C题解题思路】2025华数杯数学建模C题解题思路+可运行代码参考（无偿分享）-EW帮帮网

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C 题可调控生物节律的 LED光源研究

示例：

发光二极管（Light Emitting Diode, LED）作为一种高效、节能、环保的新型光源，近年来在多个领域得到了广泛应用。在照明领域，白光 LED的效率已远超传统的白炽灯和荧光灯，成为目前最主要的照明光源，能够通过调节色温和光谱特性，适应不同的照明需求。

科学研究表明，光照不仅为我们提供视觉照明，还会通过视网膜深远地影响人体的生理节律系统。例如，特定波长的光照会影响褪黑激素的分泌，进而调节我们的睡眠质量、认知功能与情绪状态。适当的光照调节可以提高工作效率，而失当的光照则可能干扰正常的昼夜节律。因此，如何在满足照明需求的同时，优化 LED光源的光谱特性以实现有益的生理节律调节效应，成为一个亟待解决的重要问题。

思路框架图

问题1 ×××××××

问题1思路框架：

第1问的核心目标是基于已知的LED光源光谱功率分布（SPD）数据，计算其在颜色外观、显色性与节律调控三大性能维度下的五个关键参数，分别为相关色温（CCT）、色偏差（Duv）、保真度指数（Rf）、色域指数（Rg）与褪黑素日光效率比（mel-DER）。这些参数均是国际照明委员会（CIE）和美国照明工程学会（IES）制定的行业标准指标，本质上是从SPD到感知空间的数学映射。

整体思路可分为以下步骤：首先，将给定的SPD数据通过色品匹配函数变换为CIE XYZ三刺激值及其对应的色品坐标(x,y)或(u,v)；其次，计算该色点在色度图中距离黑体轨迹的位置，并据此估算CCT和Duv；随后，模拟光源照射99种标准颜色样本，计算其与参考光源下色差，得到Rf与Rg；最后，依据节律光照模型，将SPD与melanopic权重函数叠加计算mel-DER。

通过上述流程，能够实现从物理光谱数据到颜色感知与节律生理响应的全参数预测，是照明系统建模与优化的基础。

数学模型构建：

光谱到三刺激值转换：

给定波长范围内的光谱功率分布S(\lambda)，可通过CIE 1931标准色品匹配函数 $\overline{x}(\lambda), \overline{y}(\lambda), \overline{z}(\lambda)$ 计算三刺激值：

$X=\int_{\lambda }{S}(\lambda )\cdot \bar{x}(\lambda )d\lambda ,\quad Y=\int_{\lambda }{S}(\lambda )\cdot \bar{y}(\lambda )d\lambda ,\quad Z=\int_{\lambda }{S}(\lambda )\cdot \bar{z}(\lambda )d\lambda$

进一步计算归一化色品坐标：

$x=\frac{X}{X+Y+Z},\quad y=\frac{Y}{X+Y+Z}$

在CIE 1960 UCS空间下，计算(u,v)坐标：

u $=\frac{4X}{X+15Y+3Z},\quad v=\frac{6Y}{X+15Y+3Z}$

相关色温（CCT）与色偏差（Duv）计算：

CCT定义为黑体轨迹上与目标色点(u,v)距离最小的点所对应的黑体温度。可采用最小距离法建立目标函数：

${{T}^{*}}=\arg {{\min }_{T}}\left[ {{\left( u-{{u}_{T}} \right)}^{2}}+{{\left( v-{{v}_{T}} \right)}^{2}} \right]$

其中(u_T, v_T)为温度为T时黑体辐射点的坐标。

对应的色偏差为：

可进一步使用McCamy近似公式粗略估计色温（适用于4000K–25000K）：

$n=\frac{x-0.3320}{y-0.1858},\quad CCT=-449{{n}^{3}}+3525{{n}^{2}}-6823.3n+5520.33$

保真度指数 R_f 与色域指数 R_g（基于TM-30）：

使用TM-30推荐的99种颜色样本（Color Evaluation Samples, CES），设每种颜色在参考光源与测试光源下的颜色差为\Delta E_i，则保真度指数为：

${{R}_{f}}=100-4.6\cdot \frac{1}{99}\sum\limits_{i=1}^{99}{\Delta }{{E}_{i}}$

其中\Delta E_i为CAM02-UCS色差：

$\Delta {{E}_{i}}=\sqrt{{{\left( J_{i}^{t}-J_{i}^{r} \right)}^{2}}+{{\left( a_{i}^{t}-a_{i}^{r} \right)}^{2}}+{{\left( b_{i}^{t}-b_{i}^{r} \right)}^{2}}}$

色域指数 $R_g$ 衡量测试光源下色域面积与参考光源色域面积的比值：

${{R}_{g}}=100\cdot \frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{r}}}$

其中 $A_t$ 与 $A_r$ 分别为在CAM02-UCS空间下连接99个色样形成的凸包面积。

生理节律响应参数 mel-DER：

mel-DER 表示光源的melanopic响应与标准光源（D65或V(λ)）响应的比值，计算公式为：

$\operatorname{mel}-DER=\frac{\int{S}(\lambda )\cdot \bar{M}(\lambda )d\lambda }{\int{S}(\lambda )\cdot V(\lambda )d\lambda }$

其中，\overline{M}(\lambda)为melanopic灵敏度函数，V(\lambda)为光视函数。

模型算法求解：

在实现上述模型时，需处理以下算法挑战：黑体轨迹最小距离搜索、99色样的高维色差计算，以及积分计算中的插值与数值逼近问题。

首先，在CCT与Duv计算中，( $u_T, v_T$ )为随T变化的非线性函数，建议采用下降牛顿迭代法（参考附件[5]）或混合查找表+插值法逼近其最小距离点，目标函数为：

$f(T)={{\left( u-{{u}_{T}} \right)}^{2}}+{{\left( v-{{v}_{T}} \right)}^{2}}$

设初始值T_0，迭代公式为：

${{T}_{k+1}}={{T}_{k}}-\frac{{{f}^{\prime }}\left( {{T}_{k}} \right)}{{{f}^{\prime \prime }}\left( {{T}_{k}} \right)}$

其次，在Rf与Rg计算中，由于涉及对每种CES样本的高维映射与色差计算，直接枚举计算代价极高，因此可引入支持向量回归（SVR）模型或神经网络回归器训练映射关系，减少重复样本计算量，提高处理速度。

此外，为提升mel-DER计算中积分精度，可在波长维度使用样条插值法对SPD与melanopic函数进行平滑拟合，再进行Romberg积分或高阶高斯求积，提高收敛精度。

为实现上述计算流程的全局一致性与性能优化，可引入智能算法对参数空间进行校准。例如在CCT与Duv拟合中，引入粒子群优化（PSO）算法搜索最优拟合温度T^*，粒子表示温度值，适应度函数为最小距离函数f(T)，算法框架如下：

初始化粒子群： $T_i \in [1000K, 20000K]$
迭代更新位置与速度：

判断收敛性，更新全局最优g直至f(T)收敛。

通过将上述计算模型集成于统一求解框架中，可系统完成任意光源SPD向关键性能指标的转换，建立照明系统性能评估的完整模型链路。

Python代码：
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import simps
from scipy.optimize import minimize_scalar

# ========== Step 1: 读取附录文件中所有必要数据 ==========

file_path = "附录.xlsx"

# 读取LED SPD数据（用于问题1计算）
spd_df = pd.read_excel(file_path, sheet_name="Problem 2_LED_SPD")
wavelengths = spd_df.iloc[:, 0].values  # 波长（单位nm）
spd_channels = spd_df.iloc[:, 1:].values  # 每列为一个LED通道
channel_names = spd_df.columns[1:]

# 读取CIE 1931匹配函数（从 Problem 1）
cmf_df = pd.read_excel(file_path, sheet_name="Problem 1", skiprows=1, nrows=81)
x_bar = cmf_df['x_bar'].values
y_bar = cmf_df['y_bar'].values
z_bar = cmf_df['z_bar'].values

# 读取 melanopic 响应（M(λ)）和 V(λ) 视觉函数
melanopic = cmf_df['melanopic'].values
vlambda = cmf_df['V_lambda'].values

# ========== Step 2: 定义指标计算函数 ==========

def compute_parameters(spd):
    # 1. 三刺激值 XYZ
    X = simps(spd * x_bar, wavelengths)
    Y = simps(spd * y_bar, wavelengths)
    Z = simps(spd * z_bar, wavelengths)

    # 2. 色度坐标 (u, v)
    denom = (X + 15*Y + 3*Z)
    u = 4 * X / denom
    v = 6 * Y / denom

    # 3. 黑体轨迹拟合求 CCT
    def blackbody_uv(T):
        # 黑体光谱
        c1 = 3.74183e-16
        c2 = 1.4388e-2
        lamb = wavelengths * 1e-9
        bb = (c1 * lamb**-5) / (np.exp(c2 / (lamb * T)) - 1)
        X_bb = simps(bb * x_bar, wavelengths)
        Y_bb = simps(bb * y_bar, wavelengths)
        Z_bb = simps(bb * z_bar, wavelengths)
        denom_bb = (X_bb + 15*Y_bb + 3*Z_bb)
        u_bb = 4 * X_bb / denom_bb
        v_bb = 6 * Y_bb / denom_bb
        return u_bb, v_bb

    def distance_to_bb(T):
        u_bb, v_bb = blackbody_uv(T)
        return (u - u_bb)**2 + (v - v_bb)**2

    res = minimize_scalar(distance_to_bb, bounds=(1000, 10000), method='bounded')
    cct = res.x
    u_bb, v_bb = blackbody_uv(cct)
    duv = np.sqrt((u - u_bb)**2 + (v - v_bb)**2)

    # 4. mel-DER = melanopic efficacy / photopic efficacy
    numerator = simps(spd * melanopic, wavelengths)
    denominator = simps(spd * vlambda, wavelengths)
    mel_der = numerator / denominator if denominator > 0 else 0

    return {
        "X": X, "Y": Y, "Z": Z,
        "u": u, "v": v,
        "CCT": cct,
        "Duv": duv,
        "mel-DER": mel_der
    }

# ========== Step 3: 批量计算每个LED通道的参数 ==========

results = []
for i in range(spd_channels.shape[1]):
    spd = spd_channels[:, i]
    params = compute_parameters(spd)
    params["通道"] = channel_names[i]
    results.append(params)

results_df = pd.DataFrame(results)
results_df.to_csv("问题1_光谱参数计算结果.csv", index=False)
print("✅ 已保存参数计算结果至 '问题1_光谱参数计算结果.csv'")

# ========== Step 4: 可视化 - 色品图 + 黑体轨迹 ==========

plt.figure(figsize=(8, 6))

# 黑体轨迹绘制
temps = np.linspace(1000, 10000, 100)
u_bb_list, v_bb_list = [], []
for T in temps:
    u_bb, v_bb = compute_parameters((1 / (wavelengths * 1e-9)) * 0)[['u','v']] if T==0 else blackbody_uv(T)
    u_bb_list.append(u_bb)
    v_bb_list.append(v_bb)
plt.plot(u_bb_list, v_bb_list, 'k-', label='Blackbody Locus')

# LED点绘制
for i, row in results_df.iterrows():
    plt.plot(row['u'], row['v'], 'o', label=row['通道'])

plt.xlabel("u")
plt.ylabel("v")
plt.title("CIE 1960 色品图（uv坐标）")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("问题1_uv坐标图.png", dpi=300)
print("✅ 已保存 uv 色品图至 '问题1_uv坐标图.png'")

后续都在“数模加油站”......

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