课程来源：GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
Lingqi Yan
UC Santa Barbara

计算机图形学中的显式几何

1. 点云

不考虑一个表面，每个模型都是实心的，点云的密度越大，物体的表面越明显。
理论上你的点足够密，就可以表示任何物体。
如何把点云变成三角形面，这是个问题。

2. 多边形网络

存储顶点和多边形（通常是三角形或四边形）更容易进行处理/模拟，自适应采样更复杂的数据结构，可能是图形中最常见的表示

Wavefront Object File

• 只是一个指定顶点、法线、纹理坐标及其连通性的文本文件。
• 简称Object File，通常用于图形学研究的文件格式。
• 定义一系列的点，发现，纹理，并将它们对应起来（图中的f）——哪几个点形成三角形，分别用哪些纹理坐标，并且分别用哪些法线。
  

曲线

让摄像机沿着某个定义好的曲线移动。

矢量图：用曲线定义一个字体。

Bézier Curves 贝赛尔曲线

用一系列的控制点去定义某一个曲线。

如何去画一条贝塞尔曲线

用任意多的点画出一条贝赛尔曲线——算法名de Casteljau Algorithm（这个算法名实在是没法翻译，因为是人名。。）
首先膜拜一下两位大佬：

想要画出这条曲线，知道这个曲线的点在任意一个时间t对应的位置即可。

输入三个点，$b_0,b_1,b_2$，并找一个时间$t$，假设$t=1/3$，在$b_0到b_1$和$b_1到b_2$上分别找出$1/3$的点，并把它们连起来。在连起来的线段上，继续寻找时间$t$的位置，基本还是$1/3$的位置，再点上一个点。至此，我们求得到的${b_0}^2$就是我们要求的贝塞尔曲线在时间 $t$ 上的位置。

只要我们能画一个点，我们就能画出所有的点。这里不用考虑t不连续的问题，就当它是连续的好了。
把所有的点都找一遍，就找到了我们所求的贝赛尔曲线。

当有4个点的时候也和上面方式类似，在每条线段上寻找时间$t（t\in [0,1]）$的位置，并将它们连起来，再接着在新的线段上寻找时间$t$的位置，直到最后一个点。

很明显，寻找贝塞尔曲线在点$t$的位置是一个递归的过程，当有4个点时，需要遍历3次。

用以下动画可以表示绘制这个曲线的过程
三个点

四个点

计算贝塞尔曲线的代数公式

系数金字塔

对于任意一个$t$，都可以以系数金字塔的方式寻找出对应的点。

例如：三个点绘制贝赛尔曲线
先前只是用现象描述了一下贝塞尔曲线的绘制，现在用数学公式将其表现出来。

$n$阶贝塞尔曲线公式

Bernstein多项式：无论$t$取何值，多项式的和一定为1.