通信系统原理[郭宇春]——最佳接收—

7-2

（1）画图表示匹配滤波器的h(t)和输出信号波形。

$h(t)=s(t_0-t)$ , $t_0=T_b$ ,则MF的输出波形如下：

其中 $s_0(t)=h(t)\ast s(t)$

（2）采样时刻 $t=t_0$ ，即 $t=T_b$

（3）确定传递函数h(t)

由图可知

$h(t)=-Arect[\frac{2(t-\frac{T_b}{4})}{T_b}]+Arect[\frac{2(t-\frac{3}{4}T_b)}{T_b}]$

$H(\omega)=\frac{-AT_b}{2}Sa(\frac{T_b}{4}\omega)e^{-j\omega\frac{T_b}{4}}+\frac{AT_b}{2}Sa(\frac{T_b}{4}\omega)e^{-j\omega\frac{3T_b}{4}}$

（4） $\gamma =\frac{2E}{n_0}=\frac{2A^2T_b}{n_0}$

$E=\int^{T_B}_0A^2dt=A^2T_b$

7-3

（1）系统框图如图所示

（2）根据 $h_1(t)=s_1(t_0-t),h_2(t)=s_0(t_0-t)$ 画出波形如下：

（3） $P_e<10^{-5},R_b?$

已知 $E_1=E_0=E_b=A^2T_b=T_b$

$P_e=\frac{1}{2}erfc\{\sqrt{\frac{E_1+E_2-2\rho_{12}\sqrt{E_1E_2}}{4n_0}}\}$ 当E1=E2且双极性码归零码时

$\rho_{12}=\frac{1}{T_b}\int^{+\infty }_{-\infty}s_1(\tau)s_0(t)dt=-1$

则 $P_e=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{E_b}{n_0}}=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{1}{R_Bn_0}})\leqslant 10^{-5}$

因此 $\sqrt{\frac{1}{R_bn_0}}\geqslant 3$ $R_b\leqslant 55kbit/s$

7-4 已知 $s(t)=Acos\omega_0t$ 分别进行ML、MF

（1）求 $S_0(t)$ （MF）

$n(t)=S(t-t_0)=Acos[\omega_0(T-t)]$

则 $S_0(t)=h(t)\ast S(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}S(\tau)h(t-\tau)d\tau$ 设 $T=\frac{2n\pi }{\omega_0}$

当 $t\in(0,T)$

$S_0(t)=\int^t_0Acos\omega_0\tau\cdot Acos[\omega(T-t+\tau)]d\tau\\=\frac{A^2}{2}\int^t_0cos(\omega_0t)d\tau+\int^t_0cos[\omega_0(2\tau-t)]d\tau\\=\frac{A^2t}{2}cos\omega_0t+\int^t_0cos2\omega_0\tau cos\omega_0t+sin2\omega_0\tau sin\omega_0td\tau\\=\frac{A^2t}{2}cos\omega_0t+\frac{sin2\omega_0t cos\omega_0t}{2\omega_0}+\frac{-cos2\omega_0t sin\omega_0t}{2\omega_0}\\=\frac{A^2t}{2}(cos\omega_0t+\frac{sin\omega_0t}{2\omega_0})\\\approx\frac{A^2t}{2}cos\omega_0t$

当 $t\in(T,2T)$

$S_0(t)=\int^t_{t-T}Acos\omega_0\tau\cdot Acos[\omega_0(T-t+\tau)]d\tau$

根据对称性 $=\frac{A^2(2T-t)}{2}[cos\omega_0t-\frac{sin\omega_0t}{2\omega_0}]$ $\omega_0 \gg 1$

$\begin{cases} \frac{A^2t}{2}cos\omega_0t & \text{ }0 \leqslant t< T \\ \frac{A^2(2T-t)}{2}cos\omega_0t & \text{ } T\leqslant t\leqslant 2T \\0 & \text{ else} \end{cases}$

（2）求 ${S_0}'(t)$

${S_0}'(t)=\int^t_0S^2(t)dt=\int^t_0A^2cos^2\omega_0tdt=\frac{A^2t}{2}+\frac{A^2}{4\omega_0}sin\omega_0t$ $\omega_0\gg 1$

（3）有表达式可知，两种输出不同，但二者在t=T时刻采样值相同。

7-5 $s(t)=1-cos\omega_0t$ $0\leqslant t \leqslant T,T=\frac{2\pi}{\omega_0}$

（1）求冲击响应

（2）确认采样时刻t=T

（3）求 $\gamma _{max}$

$S_0(T)=R_s(0)=E_s=\int^T_0S(t)dt=\int^T_0dt-2\int^T_0cos\omega_0tdt+\int^T_0cos^2\omega_0tdt$

$\gamma=\frac{2E_s}{n_0}$

7-6 ACK信号 $S_1(t)=Acos(\omega_0t-\theta)$ $0\leqslant t \leqslant T$

（1）求h(t)

$h(t)=S(T-t)=Acos[\omega_0(-t)-\theta]=Acos(\omega_0t+\theta)$

（2）若为匹配滤波器直接匹配波形，则由于采样相位点不确定会产生影响。这时若采用随机相位匹配滤波器，通过包络来反馈采样值就不会有影响

（3）

$S_0(t)=\int^t_0Acos(\omega_0\tau-\theta)\sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_0(t-\tau))d\tau\\=\frac{A}{2}\sqrt{\frac{2}{T}}[\int^t_0cos(\omega_0t-\theta)d\tau+\int_0^tcos(2\omega_0t-\omega_0\tau-\theta)d\tau]\\=\frac{A}{2}\sqrt{\frac{2}{T}}\cdot t \cdot cos(\omega_0(t-\theta))+\frac{A}{4\omega_0}\sqrt{\frac{2}{T}}[sim(\omega_0t-\theta)+sin(\omega_0t+\theta)]\\\approx At\sqrt{\frac{1}{T}}cos(\omega_0t-\theta)$

同理，根据对称性

$S_0(t)-(T\sim 2T)\\S_0(t)\approx A(2T-t)\sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_0t-\theta)$

则取包络后

$S_{LED}\begin{cases} \sqrt{\frac{A^2}{2T}}t & \text{ } 0 \leqslant t <T \\ \sqrt{\frac{A^2}{2T}}(2T-t) & \text{ } T \leqslant t \leqslant 2T \end{cases}$