Python滤波器设计

lfilter

FIR，即有限脉冲响应(finite impulse response)，特点是无反馈，其离散形式可表示为

$$y_n=\sum _{k=0}^M{b}_k{x}_{n-k}$$

IIR，即无限脉冲响应(infinite impulse response)，可以写为

$$a_0{y}_n=\sum _{k=0}^M{b}_k{x}_{n-k}-\sum _{k=1}^N{a}_k{y}_{n-k}$$

滤波器设计，就是对$a_k,b_k$具体形式的求解，scipy.signal中内置了一些常用的FIR和IIR滤波器。

其中lfilter是最基础的脉冲响应滤波器，其形式为

lfilter(b, a, x, axis=-1, zi=None)

其中，a, b为滤波参数，x为待滤波数组，axix为作用的坐标轴，zi为默认延时，其Z变换形式的滤波函数为

$$Y(z)=\frac{{\sum }_{i=0}{b}_i{z}^{-i}}{{\sum }_{i=0}{a}_i{z}^{-i}}X(z)$$

下面通过butter函数生成3阶巴特沃斯滤波器对应的a和b值，用以lfilter进行滤波

import scipy.signal as ss
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.default_rng()
t = np.linspace(-1, 1, 201)
PI = 2*np.pi
x = (np.sin(PI*0.75*t*(1-t) + 2.1) +
     0.1*np.sin(PI*1.25*t + 1) +
     0.18*np.cos(PI*3.85*t))
# 原始数据添加噪声
xn = x + rng.standard_normal(len(t)) * 0.08
b, a = ss.butter(3, 0.05)

z = ss.lfilter(b, a, xn)
z2 = ss.lfilter(b, a, z)

plt.plot(t, z, 'r--', t, z2, 'r')
plt.scatter(t, xn, marker='.', alpha=0.75)
plt.legend(('lfilter, once', 'lfilter, twice', 'noisy signal'), loc='best')
plt.show()

效果如下

可见，lfilter的确对原始信号的噪声进行了过滤，过滤之后的信号也的确较为平滑，而且显然进行二次滤波的效果比第一次更加平滑，但却产生了延时。

这就是lfilter的问题所在，即其为因果关系实时过滤，对于除了对称FIR之外的其他情况，都会产生延时。

filtfilt

相比之下，另一个滤波函数filtfilt对输入信号进行正反两个方向的滤波，从而消除了lfilter所产生的相位差。

y = ss.filtfilt(b, a, xn)
plt.plot(t, y, 'r')
plt.scatter(t, xn, marker='.', alpha=0.75)
plt.legend(('filtfilt', 'noisy signal'), loc='best')
plt.show()

效果为

filtfilt函数的调用方法如下

filtfilt(b, a, x, axis=-1, padtype='odd', padlen=None, method='pad', irlen=None)

除了在lfilter中已有的b, a, x, axis之外，另外三个参数表示：

• padtype: 滤波器填充信号的扩展类型，为"odd", "even", "constant"或者None。
• padlen：在应用滤波器之前在轴两端延伸X的元素数目。此值必须小于要滤波元素个数- 1。（int型或None）
• method：边缘处理方法，为"pad"时，填充信号，填充类型由padtype和padlen决定；为"gust"时，使用古斯塔夫森方法，填充方式由irlen决定。
• irlen：指定滤波器的脉冲响应的长度。如果irlen是None，则脉冲响应的任何部分都被忽略。对于长信号，指定irlen可以显著改善滤波器的性能。