前言

第一讲：集合论基础

集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，是基础的基础。

在离散数学中，需要使用集合来表达各类离散量以及离散量之间的关系，所以首先学习集合论是重中之重。

本文集合的基本运算是集合论基础的第三部分。

1. 并运算

并集

定义

设$A$, $B$是两个集合，则集合$A$与$B$的并集定义为：
A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A\cup B=\left\{ x|x\in A\text{或}x\in B \right\} A∪B={x∣x∈A或x∈B}

文氏图

$A\cup B$

红色部分表示集合$A$与$B$的并集。

例子

• 集合 { 1 , 3 , 5 } \left\{ 1,3,5 \right\} {1,3,5}和集合 { 1 , 2 , 3 } \left\{ 1,2,3 \right\} {1,2,3}的并集是 { 1 , 2 , 3 , 5 } \left\{ 1,2,3,5 \right\} {1,2,3,5}；
• 若集合$A$是选修了音乐欣赏的学生，集合$B$是选修了西方文学的学生，则$A\cup B$是选修了音乐欣赏或选修了西方文学或两门课都同时选修的学生。

2. 交运算

交集

定义

设$A$, $B$是两个集合，则集合$A$与$B$的交集定义为：
A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 并且 x ∈ B } A\cap B=\left\{ x|x\in A\text{并且}x\in B \right\} A∩B={x∣x∈A并且x∈B}

文氏图

$A\cap B$

相交深色部分为集合$A$与$B$的交集。

例子

• 集合 { 1 , 3 , 5 } \left\{ 1,3,5 \right\} {1,3,5}和集合 { 1 , 2 , 3 } \left\{ 1,2,3 \right\} {1,2,3}的交集是 { 1 , 3 } \left\{ 1,3 \right\} {1,3}；
• 若集合$A$是选修了音乐欣赏的学生，集合$B$是选修了西方文学的学生，则$A\cap B$是既选修了音乐欣赏又选修了西方文学的学生。

3. 补运算

补集

定义

设$U$是全集，则集合$A$的补集定义为：
A ‾ = { x ∣ x ∉ A } \overline{A}=\left\{ x\left| x\notin A \right. \right\} A={x∣x∈/A}

文氏图

$\overline{A}$

红色部分为集合$A$的补集。

例子

• 集合 { 1 , 3 , 5 } \left\{ 1,3,5 \right\} {1,3,5}对于全集 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } \left\{ 1,2,3 ,4,5,6,7,8\right\} {1,2,3,4,5,6,7,8}的补集是 { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 } \left\{ 2,4,6,7,8 \right\} {2,4,6,7,8}；
• 若集合$A$是选修了音乐欣赏的学生，全集$U$是所有在校学生，则$\overline{A}$是没有选修音乐欣赏的学生。

4. 差运算

差集

定义

设$A$, $B$是两个全集，则集合$A$与$B$的差集定义为：
A − B = { x ∣ x ∈ A 并且 x ∉ B } A-B=\left\{ x\left| x\in A\text{并且}x\notin B \right. \right\} A−B={x∣x∈A并且x∈/B}

文氏图

$A-B$

红色部分为集合$A$与$B$的差集。

例子

• 集合 { 1 , 3 , 5 } \left\{ 1,3,5 \right\} {1,3,5}和集合 { 1 , 2 , 3 } \left\{ 1,2,3 \right\} {1,2,3}的差集是 { 5 } \left\{ 5 \right\} {5}；
• 若集合$A$是选修了音乐欣赏的学生，集合$B$是选修了西方文学的学生，则$A-B$是选修了音乐欣赏但没有选修了西方文学的学生。

求相对补集的运算。
补运算是相对于全集$U$的；
$A-B$的差运算是相对于集合$A$的。

5. 对称差运算

对称差集

定义

设$A$, $B$是两个全集，则集合$A$与$B$的对称差集定义为：
A ⊕ B = { x ∣ x ∈ A 并且 x ∉ B 或者 x ∉ A 并且 x ∈ B } A\oplus B=\left\{ x\left| x\in A\text{并且}x\notin B \right. \text{或者}x\notin A\text{并且}x\in B \right\} A⊕B={x∣x∈A并且x∈/B或者x∈/A并且x∈B}

文氏图

$A\oplus B$

红色部分为集合$A$与$B$的对称差集。

例子

• 集合 { 1 , 3 , 5 } \left\{ 1,3,5 \right\} {1,3,5}和集合 { 1 , 2 , 3 } \left\{ 1,2,3 \right\} {1,2,3}的差集是 { 2 , 5 } \left\{ 2,5 \right\} {2,5}；
• 若集合$A$是选修了音乐欣赏的学生，集合$B$是选修了西方文学的学生，则$A\oplus B$是选修了音乐欣赏和西方文学两门课中某一门的学生。

6. 并运算和交运算的扩展

并运算和交运算类似于初等数学中的加法和乘法。

加法和乘法可以连加和连乘；
并运算和交运算也是可以对多个集合进行连并和连交的。

定义

• 连并：
  设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$是任意$n$个集合，则这$n$个集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合成员的元素的集合，即
  ⋃ i = 1 n A i = A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n = { x ∣ x ∈ A 1 或者 x ∈ A 2 ⋯ 或者 x ∈ A n } \bigcup_{i=1}^n{A_i=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\left\{ x\left| x\in A_1\text{或者}x\in A_2\cdots \text{或者}x\in A_n \right. \right\}} i=1⋃n​Ai​=A1​∪A2​∪⋯∪An​={x∣x∈A1​或者x∈A2​⋯或者x∈An​}

• 连交：
  设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$是任意$n$个集合，则这$n$个集合的交集是包含那些属于这组集合中所有集合成员的元素的集合，即
  ⋂ i = 1 n A i = A 1 ∩ A 2 ∩ A ⋯ ∩ A n = { x ∣ x ∈ A 1 并且 x ∈ A 2 ⋯ 并且 x ∈ A n } \bigcap_{i=1}^n{A_i=A_1\cap A_2\cap A\cdots \cap A_n=\left\{ x\left| x\in A_1\text{并且}x\in A_2\cdots \text{并且}x\in A_n \right. \right\}} i=1⋂n​Ai​=A1​∩A2​∩A⋯∩An​={x∣x∈A1​并且x∈A2​⋯并且x∈An​}

例子

设 A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } A=\left\{ 0,2,4,6,8 \right\} A={0,2,4,6,8}， B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } B=\left\{ 0,1,2,3,4 \right\} B={0,1,2,3,4}， C = { 0 , 3 , 6 , 9 } C=\left\{ 0,3,6,9 \right\} C={0,3,6,9}，则：
A ∪ B ∪ C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 } A ∩ B ∩ C = { 0 } A\cup B\cup C=\left\{ 0,1,2,3,4,6,8,9 \right\} \\ A\cap B\cap C=\left\{ 0 \right\} A∪B∪C={0,1,2,3,4,6,8,9}A∩B∩C={0}

总结

本文介绍了集合论基础中的集合的基本运算部分，对集合有进一步的了解。