本文参考钱杏芳等编著的《导弹飞行力学》
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前言
坐标系是为描述导弹位置和运动规律而选取的参考基准。为了准确，简洁和清晰的描述导弹的运动方程，我们需要选取合适的坐标系并熟练掌握坐标系之间的转换。本文介绍了地面坐标系、弹体坐标系、弹道坐标系和速度坐标系四种坐标系的定义以及各坐标系之间的变换过程。
一、导弹常用的四种坐标系
1.地面坐标系
O-X-Y-Z坐标系
'OX轴'：弹道（航迹）面与水平面的交线,指向目标为正；
'OY轴'：垂直于OX轴，沿着垂线向上；
'OZ轴'：根据右手定则判断。
随地球自转而自转，相对地面静止。
2.弹体坐标系
O-Xt-Yt-Zt坐标系
'OXt轴'：导弹的纵轴，指向弹头为正；
'OYt轴'：位于导弹的对称面，并垂直于OXt轴；
'OZt轴'：根据右手定则判断。
3.弹道坐标系
O-Xd-Yd-Zd坐标系
'OXd轴'：与速度矢量重合；
'OYd轴'：位于铅垂面，并垂直于OXd轴；
'OZd轴'：根据右手定则判断。
4.速度坐标系
O-Xa-Ya-Za坐标系
'OXa轴'：与速度矢量重合；
'OYa轴'：位于导弹对称面，并垂直于OXa轴；
'OZa轴'：根据右手定则判断。
二、坐标系之间的变换
以2维坐标系变换为例：
由上图可得如下关系：
x ′ = x cos θ − y sin θ y ′ = x sin θ + y cos θ \begin{array}{l} x^{'} = x\cos \theta - y\sin \theta \\ y^{'} = x\sin \theta + y\cos \theta \end{array} x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ
改写成矩阵形式为：
[ x ′ y ′ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] \left[ {\begin{array}{} {x^{'}}\\ {y^{'}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{} {\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{} x\\ y \end{array}} \right] [x′y′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][xy]
所以 [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] \left[ {\begin{array}{} {\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right] [cosθsinθ−sinθcosθ]为坐标系 o x y oxy oxy到 o x ′ y ′ ox^{'}y^{'} ox′y′的变换矩阵。
1.地面坐标系 =>弹体坐标系
坐标变换可表示为
[ x t y t z t ] = C t g [ x y z ] \left[ {\begin{array}{} {{x_t}}\\ {{y_t}}\\ {{z_t}} \end{array}} \right] = {C_{tg}}\left[ {\begin{array}{} x\\ y\\ z \end{array}} \right] ⎣
⎡xtytzt⎦
⎤=Ctg⎣
⎡xyz⎦
⎤
其中 C t g C_{tg} Ctg为变换矩阵。
变换过程如图所示：
俯仰角 ϑ \vartheta ϑ ：导弹纵轴与水平面的夹角；
偏航角 ψ \psi ψ ：弹体坐标系纵轴在水平面上的投影 o x ′ ox^{'} ox′与地面坐标系 o x ox ox轴的夹角；
倾斜角 γ \gamma γ ： y t y_t yt轴与铅锤面( o x ′ y ′ ox^{'}y^{'} ox′y′)的夹角。
变换过程如下：
1.绕地面坐标系 o y oy oy轴旋转 ψ \psi ψ角度，则变换矩阵为：
L ( ψ ) = [ cos ψ 0 − sin ψ 0 1 0 sin ψ 0 cos ψ ] L(\psi ) = \left[ {\begin{array}{} {\cos \psi }&0&{ - \sin \psi }\\ 0&1&0\\ {\sin \psi }&0&{\cos \psi } \end{array}} \right] L(ψ)=⎣
⎡cosψ0sinψ010−sinψ0cosψ⎦
⎤
2.绕过渡坐标系 o z ′ oz^{'} oz′旋转 ϑ \vartheta ϑ角度，则变换矩阵为：
L ( θ ) = [ cos ϑ sin ϑ 0 − sin ϑ cos ϑ 0 0 0 1 ] L(\theta ) = \left[ {\begin{array}{} {\cos \vartheta }&{\sin \vartheta }&0\\ { - \sin \vartheta }&{\cos \vartheta }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] L(θ)=⎣
⎡cosϑ−sinϑ0sinϑcosϑ0001⎦
⎤
3.绕弹体坐标系 o x t ox_{t} oxt轴旋转 γ \gamma γ角度，则变换矩阵为：
L ( γ ) = [ 1 0 0 cos γ sin γ 0 − sin γ cos γ 0 ] L(\gamma ) = \left[ {\begin{array}{} 1&0&0\\ {\cos \gamma }&{\sin \gamma }&0\\ { - \sin \gamma }&{\cos \gamma }&0 \end{array}} \right] L(γ)=⎣
⎡1cosγ−sinγ0sinγcosγ000⎦
⎤
所以变换矩阵 C t g = L ( γ ) L ( ϑ ) L ( ψ ) C_{tg}=L(\gamma )L(\vartheta )L(\psi ) Ctg=L(γ)L(ϑ)L(ψ)。
2.地面坐标系=>弹道坐标系
由于弹道坐标系与地面坐标系的z轴均在水平面内，因此只需要两个角就可以进行坐标系变换。
坐标变换可表示为
[ x d y d z d ] = C d g [ x y z ] \left[ {\begin{array}{} {{x_d}}\\ {{y_d}}\\ {{z_d}} \end{array}} \right] = {C_{dg}}\left[ {\begin{array}{} x\\ y\\ z \end{array}} \right] ⎣
⎡xdydzd⎦
⎤=Cdg⎣
⎡xyz⎦
⎤
其中 C d g C_{dg} Cdg为变换矩阵。
变换过程如图所示：
弹道倾角 θ \theta θ：速度矢量 V V V与水平面之间的夹角；
弹道偏角 ψ v {\psi _v} ψv:：速度矢量 V V V在水平面的投影 o x ′ ox^{'} ox′与地面坐标系 o x ox ox轴的夹角。
变换过程如下：
1.绕地面坐标系 o y oy oy轴旋转 ψ v {\psi _v} ψv角度，则变换矩阵为：
L ( ψ v ) = [ cos ψ v 0 − sin ψ v 0 1 0 sin ψ v 0 cos ψ v ] L(\psi _v ) = \left[ {\begin{array}{} {\cos \psi _v }&0&{ - \sin \psi _v }\\ 0&1&0\\ {\sin \psi _v }&0&{\cos \psi _v } \end{array}} \right] L(ψv)=⎣
⎡cosψv0sinψv010−sinψv0cosψv⎦
⎤
2.绕弹道坐标系 o z d oz_{d} ozd旋转 θ \theta θ角度，则变换矩阵为：
L ( θ ) = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] L(\theta ) = \left[ {\begin{array}{} {\cos \theta }&{\sin \theta }&0\\ { - \sin \theta }&{\cos \theta }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] L(θ)=⎣
⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦
⎤
所以变换矩阵 C d g = L ( θ ) L ( ψ v ) C_{dg}=L(\theta )L(\psi _v ) Cdg=L(θ)L(ψv)。
3.速度坐标系=>弹体坐标系
由于速度坐标系与弹体坐标系的y轴均在导弹对称面内，因此只需要两个角就可以进行坐标系变换。
坐标变换可表示为
[ x t y t z t ] = C t a [ x a y a z a ] \left[ {\begin{array}{} {{x_t}}\\ {{y_t}}\\ {{z_t}} \end{array}} \right] = {C_{ta}}\left[ {\begin{array}{} x_a\\ y_a\\ z_a \end{array}} \right] ⎣
⎡xtytzt⎦
⎤=Cta⎣
⎡xayaza⎦
⎤
其中 C t a C_{ta} Cta为变换矩阵。
变换过程如图所示：
攻角 α \alpha α：导弹纵轴 o x t ox_t oxt与水平面之间的夹角；
侧滑角 β \beta β：导弹纵轴在水平面的投影 o x ′ ox^{'} ox′与速度坐标系 o x a ox_a oxa轴的夹角。
变换过程如下：
1.绕速度坐标系 o y a oy_a oya轴旋转 α {\alpha} α角度，则变换矩阵为：
L ( α ) = [ cos α 0 − sin α 0 1 0 sin α 0 cos α ] L(\alpha ) = \left[ {\begin{array}{} {\cos \alpha }&0&{ - \sin \alpha }\\ 0&1&0\\ {\sin \alpha }&0&{\cos \alpha } \end{array}} \right] L(α)=⎣
⎡cosα0sinα010−sinα0cosα⎦
⎤
2.绕弹体坐标系 o z t oz_{t} ozt旋转 β \beta β角度，则变换矩阵为：
L ( β ) = [ cos β sin β 0 − sin β cos β 0 0 0 1 ] L(\beta ) = \left[ {\begin{array}{} {\cos \beta }&{\sin \beta }&0\\ { - \sin \beta }&{\cos \beta }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] L(β)=⎣
⎡cosβ−sinβ0sinβcosβ0001⎦
⎤
所以变换矩阵 C t a = L ( β ) L ( α ) C_{ta}=L(\beta )L(\alpha ) Cta=L(β)L(α)。
4.弹道坐标系=>速度坐标系
由于弹道坐标系和速度坐标系的x轴均与速度矢量重合，因此只需要一个角就可以完成坐标变换。
坐标变换可表示为
[ x a y a z a ] = C a d [ x d y d z d ] \left[ {\begin{array}{} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right] = {C_{ad}}\left[ {\begin{array}{} x_d\\ y_d\\ z_d \end{array}} \right] ⎣
⎡xayaza⎦
⎤=Cad⎣
⎡xdydzd⎦
⎤
其中 C a d C_{ad} Cad为变换矩阵。
变换过程如图所示：
速度倾斜角 γ v {\gamma _v} γv：速度坐标系 o y a oy_a oya轴与铅垂面( o x d y d ox_dy_d oxdyd)之间的夹角。
变换过程如下：
1.绕弹道坐标系 o x d ox_{d} oxd轴旋转 γ v \gamma _v γv角度，则变换矩阵为：
L ( γ v ) = [ 1 0 0 cos γ v sin γ v 0 − sin γ v cos γ v 0 ] L(\gamma _v) = \left[ {\begin{array}{} 1&0&0\\ {\cos \gamma _v}&{\sin \gamma _v}&0\\ { - \sin \gamma _v}&{\cos \gamma _v}&0 \end{array}} \right] L(γv)=⎣
⎡1cosγv−sinγv0sinγvcosγv000⎦
⎤
所以变换矩阵 C a d = L ( γ v ) C_{ad}=L(\gamma _v) Cad=L(γv)。
总结
导弹坐标系及坐标系之间的变换是导弹运动及控制的研究基础。上述四种坐标系的变换可总结为下图所示，这样我们就可以通过角度进行任意坐标系之间的变换了。
