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语言：python

什么是动态规划

动态规划（Dynamic Programming, DP）

如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的。
贪心是局部直接选最优的。

动态规划的解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. ⭐️确定状态转移公式（递推公式）
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

AC不了的灵魂三问：

• 举例推导状态转移公式了吗？
  • 做题目时一定要把状态转移在dp数组上的具体情况 模拟一遍，心中有数，确定最后退出的是想要的结果。
  • 然后再写代码。
• 打印dp数组的日志了吗？
  • 如果代码没通过，就打印dp数组。
• 打印出来的dp数组和我想的一样吗？
  • 如果打印出来的和子集预先推导是一样的，那么就是递推公式、初始化、或者遍历顺序有问题了。

509. 简单斐波那契数

题目：斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
👉示例 1：
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
👉示例 2：
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
👉示例 3：
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

题目分析

动态规划五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   • dp[i]定义为：第i个数的斐波那契数值为dp[i]
2. ⭐️确定状态转移公式（递推公式）
   • 本题已经给我们啦：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. dp数组如何初始化
   • 本题也告诉我们啦：dp[0] = 0，dp[1] = 1
4. 确定遍历顺序
   • 因为dp[i]依赖dp[i-1]和dp[i-2]，所以从前往后遍历
5. 举例推导dp数组
   • 当n = 10时，dp数列应该为0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
   • 如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看是否正确

完整代码如下

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        a, b, c = 0, 1, 0
        for i in range(1, n):
            c = a + b
            a, b = b, c
        return c

70. 简单爬楼梯

题目：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
   示例 2：
   输入：n = 3
   输出：3
   解释：有三种方法可以爬到楼顶。
3. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
4. 1 阶 + 2 阶
5. 2 阶 + 1 阶

题目分析

动态规划五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   • dp[i] 表示 爬n 层楼梯共有dp[i]种方法
2. ⭐️确定状态转移公式（递推公式）
   • dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. dp数组如何初始化
   • dp[1] = 1
   • dp[2] = 1
4. 确定遍历顺序
   • 从前往后遍历
5. 举例推导dp数组
   • dp[5] = 8
     • [1, 1, 1, 1, 1]
     • [1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1]
     • [1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]

经过推导发现，爬楼梯实质上就是斐波那契数列。
dp[0]其实就是一个无意义的存在，不用去初始化dp[0]。
dp[0]其实就是一个无意义的存在，不用去初始化dp[0]。
dp[0]其实就是一个无意义的存在，不用去初始化dp[0]。

完整代码如下

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n < 3:
            return n

        a, b, c = 1, 2, 0
        for i in range(2, n):
            c = a + b
            a, b = b, c
        return c

另一种写法

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n < 3:
            return n

        # 初始化
        dp = [0] * (n+1)  # 初始化dp数组
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]

746. 简单使用最小花费爬楼梯

题目：给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
示例 1：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。
  示例 2：
  输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
  输出：6
  解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 6 。

题目分析

动态规划五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   • dp[i]定义为：到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]
2. ⭐️确定状态转移公式（递推公式）
   • dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost(i) # 每爬上一个台阶都要花费相应的体力值
3. dp数组如何初始化
   • dp[0] = cost[0]
   • dp[1] = cost[1]
4. 确定遍历顺序
   • 从前往后遍历
5. 举例推导dp数组
   • 当n = 10时，dp数列应该为0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
   • 如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看是否正确

完整代码如下

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (len(cost))
        dp[0] = cost[0]
        dp[1] = cost[1]
        
        for i in range(2, len(cost)):
            dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
        

        return min(dp[len(cost) - 1], dp[len(cost) - 2])