一.单层感知器

1.定义

受到生物神经网络的启发，计算机科学家 Frank Rosenblat 在20世纪60年代提出了一种模拟生物网络的人工神经网络结构，称为感知器(Perceptron)。下图为最简单的单层感知器示意图：

• $x_1,x_2,x_3$ 为输入信号，类似于生物神经网络中的树突；
• $w_1,w_2,w_3$ 为输入信号对应的权值，它可以调节信号的大小；
• $b$ 为感知器自带的偏置值（Bias）；
• ${\sum }_i(w_i{x}_i)+b$ 表示输入信号在感知器内的汇总，${\sum }_i(w_i{x}_i)+b=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+b$ ;
• $f(x)$ 称为激活函数，可理解为输入信号经过感知器时进行的非线性变化。

将偏置 $b$ 改变形式 $b=w_0{x}_0$，其中 $x_0=1$ ，感知器的示意图可表示为：

此时 ${\sum }_i(w_i{x}_i)+b={\sum }_i(w_i{x}_i)=w_0{x}_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3$ 。

2.实例计算

单层感知器中一般使用 $sign(x)$ 为激活函数，该函数的特点是当 $x>0时y=1$，当 $x=0时y=0$，当 $x<0时y=-1$。

现给定如下初始值，它们的输出分别为：

3.学习规则（即权值训练方法）

我们根据训练公式来对单层感知器表达式中的权值进行训练，当训练完毕后，该感知器算法便可进行使用，这也是人工智能算法训练的基本点。

(1).权值调整公式求解

• 单层感知器表达式：$y=f({\sum }_{i=0}^n{w}_i{x}_i)i=0,1,\mathrm{2...},f是sign激活函数$

• 第 $i$ 个权值的调整规则： $\Delta w_i=\eta (t-y)x_i\eta 为学习率,t为真实标签$

• 权值调整公式为： $w_i=w_i+\Delta w_i$
  （学习规则在《反向传播神经网络》中详解）
  由于此处使用的是 $sign$ 激活函数，所以 $t和y$ 都是在 $[-1,0,1]$ 中取值，导致 $t-y$ 的值只有 $[-2,0,2]$ 这三种值，可以推出 $\Delta w_i=\pm 2\eta x_i$ 。

(2).学习规则计算举例

假设给定 $x_0=1,x_1=0,x_2=-1,w_0=-5,w_1=0,w_2=0,\eta =1,t=1$，权值调整步骤如下：

• Step1：

  • $y=sign(-5\ast 1+0\ast 0+-1\ast 0)=sign(-5)=-1$

  • $\Delta w_0=\eta (t-y)x_0=1\ast (1+1)\ast 1=2$

    $\Delta w_1=\eta (t-y)x_1=1\ast (1+1)\ast 0=0$

    $\Delta w_2=\eta (t-y)x_2=1\ast (1+1)\ast (-1)=-2$

  • $w_0=w_0+\Delta W_0=-5+2=-3$

    $w_1=w_1+\Delta W_1=0+0=0$

    $w_2=w_2+\Delta W_2=0-2=-2$

• Step2：

  • $y=sign(-3\ast 1+0\ast 0-2\ast (-1))=sign(-1)=-1$

  • $\Delta w_0=\eta (t-y)x_0=1\ast (1+1)\ast 1=2$

    $\Delta w_1=\eta (t-y)x_1=1\ast (1+1)\ast 0=0$

    $\Delta w_2=\eta (t-y)x_2=1\ast (1+1)\ast (-1)=-2$

  • $w_0=w_0+\Delta W_0=-3+2=-1$

    $w_1=w_1+\Delta W_1=0+0=0$

    $w_2=w_2+\Delta W_2=-2-2=-4$

• Step3：

  • $y=sign(-1\ast 1+0\ast 0-4\ast (-1))=sign(3)=1$

  此时 $y=t=1$ ，感知器的训练结果正确，便可以结束训练了。

(3).Python实现单层感知器权值调整

import numpy as np

# 初始化参数设置
x0, x1, x2 = 1, 0, -1
w0, w1, w2 = -5, 0, 0
lr = 1
t = 1

for i in range(1, 50):
    print('第{0}次训练前---w0={1},w1={2},w2={3}'.format(i, w0, w1, w2))
    y = np.sign(w0 * x0 + w1 * x1 + w2 * x2)
    if (y != t):
        print('第{0}次进行训练'.format(i))
        w0 = w0 + lr * (t - y) * x0
        w1 = w1 + lr * (t - y) * x1
        w2 = w2 + lr * (t - y) * x2
    else:
        print('最终的权值结果为w0={1},w1={2},w2={3}'.format(i, w0, w1, w2))
        break
'''
第1次训练前---w0=-5,w1=0,w2=0
第1次进行训练
第2次训练前---w0=-3,w1=0,w2=-2
第2次进行训练
第3次训练前---w0=-1,w1=0,w2=-4
最终的权值结果为w0=-1,w1=0,w2=-4


可以看到和我们手动推导的结果一致
'''

4.单层感知器分类案例

(1).对数据进行分类

题目：
以二元一次方程为例，假设二维平面上有四个点：(3,3)，(4,3)，(1,1)，(2,1)，它们对应的真实分类结果 $T为[1,1,-1,-1]$。
将偏置值设为节点，$x_0$ 统一为1，上述的四个点可以扩展为下列点：
(1,3,3)，(1,4,3)，(1,1,1)，(1,2,1) —> (1,1,-1,-1)
要求对它们进行分类。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt




def train():
    global X, Y, W, lr
    Y = np.sign(np.dot(X, W))  # 将X与权值W相乘求和再进行激活函数变换得到预测值 Y，四个样本得出4个Y,4行1列
    E = T - Y  # 4个样本真实值与预测值的误差E
    delta_W = lr * (X.T.dot(E)) / int(X.shape[0])  # 样本数 X.shape[0]
    W = W + delta_W

if __name__ == '__main__':
    X = np.array([[1, 3, 3],
                  [1, 4, 3],
                  [1, 1, 1],
                  [1, 2, 1]])
    T = np.array([[1],
                  [1],
                  [-1],
                  [-1]])
    W = np.random.random((3, 1))
    lr = 0.11
    Y = 0

    for i in range(100):
        train()
        print("当前权值", W)
        print("当前迭代次数", i + 1)

        Y = np.sign(np.dot(X, W))  # 当前预测值
        print("当前预测值")
        print(Y)
        if (T == Y).all():
            print("总共迭代次数：", i + 1)
            print("程序结束")
            break
        print("===================")


    x1 = [3, 4]
    y1 = [3, 3]
    x2 = [1, 2]
    y2 = [1, 1]
    k = -W[1] / W[2]
    b = -W[0] / W[2]
    print("k=:", k)
    print("b=:", b)
    xdata = (0, 5)
    ydata = xdata * k + b
    plt.plot(xdata, ydata, 'g')
    plt.scatter(x1, y1, c='b')
    plt.scatter(x2, y2, c='r')
    plt.show()

注意：
神经网络的信号总和为 $w0\ast x0+w1\ast x1+w2\ast x2$，
当信号总和大于0再经过激活函数，模型的预测值会得到1，
当信号总和小于0再经过激活函数，模型的预测值会得到-1，
当信号总和时为0时为分类边界，
所以在画图时把 x1和x2分别看成是坐标系中的x轴和y轴
可以得到 w0 + w1x + w2y = 0 为分界线 (x0 = 1)
$y=-W[1]x/W[2]-W[0]/W[2]$

(2).单层感知器处理异或问题（非线性问题）

'''
异或非线性问题
0^0 = 0
0^1 = 1
1^0 = 1
1^1 = 0
'''
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def train():
    global X,Y,W,lr
    Out = np.sign(np.dot(X,W))
    W_C = lr*(X.T.dot(Y-Out)) / int(X.shape[0])
    W = W + W_C

if __name__ == '__main__':
    X = np.array([[1, 0, 0],
                  [1, 0, 1],
                  [1, 1, 0],
                  [1, 1, 1]])
    Y = np.array([[-1],
                  [1],
                  [1],
                  [-1]])
    W = (np.random.random((3, 1)) - 0.5) * 2
    lr = 0.11
    Out = 0

    for i in range(100):
        train()
        if (Out == Y).all():
            print("总共迭代次数：", i + 1)
            print("程序结束")
            break

    x1 = [0,1]
    y1 = [0,1]

    x2 = [1,0]
    y2 = [0,1]
    k = -W[1]/W[2]
    b = -W[0]/W[2]
    print("k=:",k)
    print("b=:",b)
    xdata = (-2,3)
    ydata = xdata*k + b
    print(ydata)
    plt.plot(xdata,ydata,'g')
    plt.scatter(x1,y1,c='b')
    plt.scatter(x2,y2,c='r')
    plt.show()

注意：无论迭代多少次都不能正确分类

二.多层感知器（BP神经网络）

简单的感知器只能求解线性问题，不能处理非线性问题，必须引入多个神经元层，即多个隐藏层才能更好的解决非线性问题。多层感知器的特点就是有多个神经元层，结合反向传播算法，又称为BP神经网络。
其余内容详见下节。