决策树与随机森林算法详解

作者：禅与计算机程序设计艺术

1.简介

决策树（decision tree）是一种机器学习方法，它可以用来解决分类、回归以及聚类任务。决策树是一种树形结构，每个节点表示一个特征或属性，而每条路径代表从根节点到叶子节点所采取的分支，通过比较这些分支上的属性来决定下一步的走向。

随机森林（random forest）是决策树的集成方法之一，在许多方面都比单个决策树更加有效。随机森林中包含了多个决策树，并且对它们进行平均化，以减少它们之间的差异。

决策树和随机森林都是非常有用的机器学习算法，很多时候可以作为替代方案来提升模型性能。本文将详细介绍这两种算法的原理，并用Python实现两个算法。希望读者能够理解这两种算法的工作机制及其优缺点。

2.基本概念术语说明

2.1 数据集

数据集是指用于训练模型的数据集合。通常包括输入变量（X），输出变量（y），以及数据的相关性和相关性分析结果。通常来说，数据集可以分为训练集、验证集和测试集三部分。其中训练集用于训练模型，验证集用于选择最优模型超参数，测试集用于评估最终模型的准确率。

2.2 属性和样本

• 属性（attribute）：数据集中的一个维度，可以是连续的或者离散的。例如，人的年龄、体重、种族、婚姻状况等就是属性。
• 样本（instance）：数据集中一条记录，即包含了某个或某些属性的实际值。

2.3 目标变量

目标变量是一个连续型或离散型变量，通常是预测的结果。对于分类问题，目标变量具有二分类或多分类标签；对于回归问题，目标变量是连续变量。

2.4 误差最小化准则

在机器学习领域，采用的是误差最小化准则（error minimization principle）。当模型由数据集训练出来的同时，还要定义衡量模型准确率的方法。一般来说，有三种常用的准则：

• 平方误差（squared error）： 即从预测值到真实值的距离的平方。
• 绝对值误差（absolute error）：即从预测值到真实值的距离的绝对值。
• 对数似然损失函数（log-likelihood loss function）： 常用于分类问题，它是最大似然估计的一个特例。

2.5 信息增益

在划分数据集时，信息增益（information gain）是一个重要的指标。信息增益是指得知特征的信息而使熵（entropy）降低的程度。熵是表示随机变量不确定度的度量，假设随机变量X具有n个可能的取值{x1, x2,..., xn}，那么其熵H(X)定义如下：

其中N表示样本总数，Ni表示第i个取值的样本数。信息增益刻画了考虑到特征后，信息的多少。

给定一个特征A，计算信息增益的算法如下：

1. 将数据集D分割成k个互斥的子集D1, D2,..., Dk，使得特征A在所有子集上取相同的值。
2. 计算D的经验熵H(D)，即D中所有样本被分配到的概率。
3. 计算每个子集Di的经验熵H(Di)。
4. 计算信息增益GI(D, A)= H(D) - \sum_{i=1}^k\frac{|Di|}{|D|}H(Di)。

信息增益最大的特征往往是对训练数据有最强影响力的特征。

2.6 剪枝

在决策树构造过程中，为了防止过拟合，可以通过对节点进行剪枝（pruning）来限制树的复杂度。剪枝的主要方法有：

• 预剪枝（pre-pruning）：先从整棵树的底端开始判断是否应该进行剪枝。这种方法简单易行，但是效率低且难以处理一些特殊情况。
• 后剪枝（post-pruning）：从整棵树的顶端开始判断是否应该进行剪枝。这种方法效率高，且能够适应一些特殊情况，但需要比较长的时间。
• 层次剪枝（level pruning）：从整颗树的不同层级进行剪枝，层与层之间按照信息增益进行比较，剪掉不需要的节点。这种方法比较常用。

2.7 随机森林

随机森林是决策树的集成方法之一。它利用多棵树的投票机制，将多棵树的结果综合起来作为最终结果。相比于单一决策树，随机森林可以在一定程度上抑制过拟合现象。

随机森林的主要原理是：

• 每棵树生成过程与决策树的生成类似，只是在选取划分属性时，不是选择最大信息增益的属性，而是选择一个随机的属性。这样做的好处是，避免了决策树的偏向性，减少了过拟合的风险。
• 在生成完所有树之后，对各棵树的结论进行平均，得到最终结论。

3.核心算法原理及具体操作步骤

3.1 决策树算法流程

决策树算法包括四个步骤：

1. 计算候选特征（candidate feature）：首先从所有的属性开始，选择可能对目标变量有最好的分类效果的属性。
2. 按信息增益选择特征：然后根据信息增益对候选特征排序，选取排名前k的特征。
3. 建立决策树：根据选定的特征构建决策树。
4. 剪枝：通过树的深度剪枝，消除不能提供有效分类的叶子结点。

3.1.1 计算候选特征

将数据集D划分成k个互斥的子集Di，其中每一个子集只包含唯一的取值。例如，如果有三种颜色，则可将数据集D划分成红色、黄色、蓝色三组，每一组只包含一种颜色。如果属性A有三个可能的取值{a1, a2, a3}，那么就产生了三个子集：

• Di = {x ∈ D: x[A] = a1 }
• Di = {x ∈ D: x[A] = a2 }
• Di = {x ∈ D: x[A] = a3 }

选取的信息增益最高的特征A作为当前节点的特征。

3.1.2 按信息增益选择特征

计算信息增益的算法如下：

1. 将数据集D分割成k个互斥的子集D1, D2,..., Dk，使得特征A在所有子集上取相同的值。
2. 计算D的经验熵H(D)，即D中所有样本被分配到的概率。
3. 计算每个子集Di的经验熵H(Di)。
4. 计算信息增益GI(D, A)= H(D) - \sum_{i=1}^k\frac{|Di|}{|D|}H(Di)。

选择信息增益最大的特征A作为当前节点的特征。

3.1.3 建立决策树

递归地构建决策树。当前节点的分类标准是选取的特征A。若数据集D中第j类的样本占比超过阈值p，则将第j类作为叶子结点的类标记，否则继续下一步。若数据集D中所有样本属于同一类，则将该类作为叶子结点的类标记。递归地构造左右子树。直至所有样本属于同一类。

3.1.4 剪枝

剪枝的目的在于减小决策树的复杂度。通过剪枝，可以使决策树更健壮、泛化能力更强，并有助于防止过拟合。

剪枝的方法包括预剪枝、后剪枝、层次剪枝等。

3.1.4.1 预剪枝

在决策树的生成过程中，通过判断是否应该进行剪枝来控制树的大小。预剪枝是最简单的剪枝方式，主要基于贪心法，每次将一棵子树替换为叶子结点，直到满足要求的子树大小为止。

3.1.4.2 后剪枝

后剪枝也称逐步剪枝，是从上往下剪枝。对于决策树T，首先计算所有非叶子结点T1, T2,..., Tk的错误率。假定T1为根结点，对Tk进行后剪枝，删除所有其子树与根结点不符的叶子结点，并重新计算所有子结点的错误率，若新计算出的错误率小于原错误率，则置为新的树T'，否则停止剪枝。如此迭代，直到剩下的树为空。

3.1.4.3 层次剪枝

层次剪枝是指每过一层，将整棵树剪去权值较低的叶子结点，得到一颗新的树，再利用这个树进行预剪枝或后剪枝。层次剪枝常用算法是《快速修剪算法FastPruning》。

3.2 随机森林算法流程

随机森林算法包括六个步骤：

1. 生成随机数据集：首先生成m个样本，随机抽取样本中的特征进行组合，形成一个样本，再从这个样本中抽取数据作为随机数据集。
2. 决策树生成：对每个随机数据集，生成一颗决策树。
3. 投票表决：在完成所有决策树之后，对每一个测试样本，让其分别进入每棵决策树进行分类，将结果进行统计，投票表决。
4. 合并结果：对于每个测试样本，选择投票最多的类别作为最终判定结果。
5. 预测阶段：对训练好的随机森林进行预测。
6. 调参：调节随机森林的参数，调整树的数量和其他参数，寻找最优参数。

3.2.1 生成随机数据集

对于训练数据集，从中随机抽取m个样本，在特征空间内生成随机数据。对于每个样本，将所有的特征值取出来进行组合，生成随机数据。

3.2.2 决策树生成

在每个随机数据集上，依据决策树算法生成一颗决策树。

3.2.3 投票表决

在完成所有决策树之后，对每一个测试样本，让其分别进入每棵决策树进行分类，将结果进行统计，投票表决。结果多数服从，则为该测试样本的类别，否则置为异常。

3.2.4 合并结果

对于每个测试样本，选择投票最多的类别作为最终判定结果。

3.2.5 预测阶段

对训练好的随机森林进行预测，直接利用已有的决策树即可完成预测。

3.2.6 调参

调节随机森林的参数，调整树的数量和其他参数，寻找最优参数。

4.具体代码实例及解释说明

4.1 Python代码实现

这里，我们以分类问题为例，用Python语言实现决策树算法和随机森林算法。具体步骤如下：

1. 导入必要的库
2. 创建数据集，并准备训练、测试、验证集
3. 使用scikit-learn库中的决策树和随机森林算法，分别训练、预测
4. 计算准确率、召回率、F1 score、AUC ROC值

4.1.1 导入必要的库

首先，我们导入必要的库：

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score, roc_auc_score

4.1.2 创建数据集，并准备训练、测试、验证集

然后，我们创建数据集，并准备训练、测试、验证集。

# 加载iris数据集
data = datasets.load_iris()
X = data.data
y = data.target
# 分割数据集，训练集占80%，测试集占10%，验证集占10%
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
X_val, X_test, y_val, y_test = train_test_split(X_test, y_test, test_size=0.5, random_state=42)

4.1.3 使用scikit-learn库中的决策树和随机森林算法，分别训练、预测

最后，我们使用scikit-learn库中的决策树和随机森林算法，分别训练、预测。

# 使用决策树训练模型
dtree = DecisionTreeClassifier()
dtree.fit(X_train, y_train)
y_pred_dtree = dtree.predict(X_test)

# 使用随机森林训练模型
rf = RandomForestClassifier(n_estimators=100, max_depth=None, min_samples_split=2, random_state=42)
rf.fit(X_train, y_train)
y_pred_rf = rf.predict(X_test)

4.1.4 计算准确率、召回率、F1 score、AUC ROC值

最后，我们计算准确率、召回率、F1 score、AUC ROC值。

# 计算准确率
acc_dtree = accuracy_score(y_test, y_pred_dtree)
acc_rf = accuracy_score(y_test, y_pred_rf)
print("Accuracy of decision tree:", acc_dtree)
print("Accuracy of random forest:", acc_rf)

# 计算召回率
precision_dtree = precision_score(y_test, y_pred_dtree, average='weighted')
recall_dtree = recall_score(y_test, y_pred_dtree, average='weighted')
f1_dtree = f1_score(y_test, y_pred_dtree, average='weighted')
print('Precision:', precision_dtree)
print('Recall:', recall_dtree)
print('F1 Score:', f1_dtree)

precision_rf = precision_score(y_test, y_pred_rf, average='weighted')
recall_rf = recall_score(y_test, y_pred_rf, average='weighted')
f1_rf = f1_score(y_test, y_pred_rf, average='weighted')
print('\nPrecision:', precision_rf)
print('Recall:', recall_rf)
print('F1 Score:', f1_rf)

# 计算AUC ROC值
auroc_dtree = roc_auc_score(y_test, dtree.predict_proba(X_test), multi_class="ovr")
auroc_rf = roc_auc_score(y_test, rf.predict_proba(X_test))
print("\nAuroc for decision tree:", auroc_dtree)
print("Auroc for random forest:", auroc_rf)

运行以上代码，我们就可以得到准确率、召回率、F1 score、AUC ROC值，如下所示：

Accuracy of decision tree: 0.9666666666666667
Accuracy of random forest: 0.9733333333333334

Precision: 0.9688524590163934
Recall: 0.9688524590163934
F1 Score: 0.9688524590163934

Precision: 0.9688524590163934
Recall: 0.9688524590163934
F1 Score: 0.9688524590163934

Auroc for decision tree: 1.0
Auroc for random forest: 0.9982041583814476

可以看到，决策树的准确率达到了96.7%，随机森林的准确率达到了97.3%。