计算网络的模块性（Modularity）是为了量化网络中社区（或模块）的结构明显程度。模块性的计算公式综合考虑了网络中实际观察到的模块内连接与在随机情况下预期的模块内连接之间的差异。具体来说，模块性的计算可以通过以下公式表示：
[ Q = \frac{1}{2m} \sum_{ij} \left[ A_{ij} - \frac{k_i k_j}{2m} \right] \delta(c_i, c_j) ]
其中：
- (Q) 是模块性，值的范围通常在-1到1之间，值越高表示网络的模块结构越明显。
- (A_{ij}) 表示节点i和节点j之间是否存在边的邻接矩阵，如果节点i和节点j之间有连接，则(A_{ij} = 1)，否则(A_{ij} = 0)。
- (k_i) 和 (k_j) 分别是节点i和节点j的度（即与节点相连的边的数量）。
- (2m) 是网络中边的总数的两倍（因为在无向图中每条边被计算了两次）。
- (\delta(c_i, c_j)) 是一个指示函数，如果节点i和节点j属于同一个模块，则(\delta(c_i, c_j) = 1)；如果它们属于不同模块，则(\delta(c_i, c_j) = 0)。
这个公式的核心思想是比较网络中实际的模块内边的数量与在一个随机网络模型中预期的模块内边的数量。随机网络模型通过假设网络中的边是随机分配的来构建，同时保持每个节点的度不变。这样，公式中的 (\frac{k_i k_j}{2m}) 部分实际上代表了在随机网络中，节点i和节点j之间存在边的预期概率。
通过计算所有节点对（i，j）的这个差值，并乘以指示函数(\delta(c_i, c_j))来考虑只有当节点i和j在同一模块时这个差值才被累加，最后除以(2m)来标准化这个值，从而得到网络的模块性(Q)。
模块性高的网络表明网络中的连接在模块内部比在模块之间更为密集，说明网络具有较为明显的社区结构。这种结构对于理解网络的功能和组织特性非常重要，尤其是在研究社交网络、生物网络和大脑网络等复杂系统时。
公式中的 (\frac{k_i k_j}{2m}) 部分实际上代表了在一个随机网络模型中，节点i和节点j之间存在边的预期概率。这里的思路是基于网络保持相同的度分布的假设，即每个节点的连出边数（或度）在随机网络和原网络中是相同的。让我们详细解释这个概念：
- (k_i) 和 (k_j) 分别代表节点i和节点j的度，即与节点i和节点j相连的边的数量。
- (2m) 是网络中所有边的总数的两倍。在无向图中，每条边连接两个节点，因此每条边在计算总度时被计算了两次，这就是为什么用(2m)，它确保了分母反映的是网络中边的总数量。
- 因此，(\frac{k_i k_j}{2m}) 可以理解为在保持节点度不变的条件下，随机连接网络中任意两个节点i和j的概率。这是因为 (k_i / 2m) 表示节点i选择任意一条边的概率，而 (k_j / 2m) 表示节点j被这条边选中的概率。当你将两者相乘，就得到了在随机网络模型中，这两个节点通过任意边相连的预期概率。
这个预期概率是基于随机图模型的，其中假设边是随机分配的，但每个节点的总连接数（即度）与原网络相同。这种模型提供了一种基准，用于比较实际网络的模块性。如果实际网络中同一模块内节点间的连接数显著高于这个随机基准预期的连接数，那么我们可以说网络显示出模块性，即网络有着比随机更强的社区结构。
因此，公式中的 (\frac{k_i k_j}{2m}) 是计算模块性时考虑随机性的关键，它帮助我们理解网络的连接模式是否真的比随机连接更有组织性，尤其是在模块或社区内部。