AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M. A delson- V elskii
和 E.M. L andis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是 AVL 树
左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在
O(log2 n) ，搜索时间复杂度 O(log2 n) 。
AVL树节点的定义
AVL 树节点的定义：（三叉链）
template < class T >struct AVLTreeNode{AVLTreeNode ( const T & data ): _left ( nullptr ), _right ( nullptr ), _parent ( nullptr ), _data ( data ), _bf ( 0 ){}AVLTreeNode < T >* _left ; // 该节点的左孩子AVLTreeNode < T >* _right ; // 该节点的右孩子AVLTreeNode < T >* _parent ; // 该节点的双亲T _data ;int _bf ; // 该节点的平衡因子};
AVL树的插入
AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL 树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子（这里默认平衡因子=右子树高度-左子树高度）
举例：采用KV模型（K模型也可以）
#pragma once
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;// balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
// logN
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 更新平衡因子
while (parent)//parent为空时更新结束，此时已经更新到根节点
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
//更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
// 当前子树出问题了，需要旋转平衡一下
//...
break;
}
else
{
// 理论而言不可能出现这个情况
assert(false);
}
}
return true;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同， AVL 树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
/*
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void RotateR(Node* parent)
{
// subL: parent的左孩子
// subLR: parent左孩子的右孩子
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
parent->_left = subLR;
// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
// 60 作为 30的右孩子
subL->_right = parent;
// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
Node* ppNode = parent->_parent;
// 更新60的双亲
parent->_parent = subL;
// 如果60是根节点，更新指向根节点的指针
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
// 更新30的双亲
subL->_parent = ppNode;
}
// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
实现及情况考虑可参考右单旋。
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}