0. 写在最前面
- 分不止两期，按照计划会纳入费曼图
- 但在这之前肯定会先插入热统的章节
- 初步提及临界系统，临界指数与重整化
1. 热统基础
（1）热力学：平衡态。形式多样却等价, 偏导关系混杂
基本关系 与 热一律：
基本关系 确定 系统所有属性： U ( S , T ) \ U(S,T) U(S,T)
热一律： d U = T d S − P d V \ dU = TdS - PdV dU=TdS−PdV d S = 1 T d U + P T d V \ dS = \frac{1}{T} dU + \frac{P}{T} dV dS=T1dU+TPdV
准平衡态： ∮ d S = 0 \oint dS = 0 ∮dS=0热二律 与 熵极大, 自由能极小：
熵取极大值 ~ 平衡态： ∂ S ( α ) ∂ α = 0 \frac {\partial S(\alpha)}{\partial \alpha} = 0 ∂α∂S(α)=0
自由能取极小值 ： F = U − T S F = U-TS F=U−TS ∂ F ( α ) ∂ α = 0 \frac {\partial F(\alpha)}{\partial \alpha} = 0 ∂α∂F(α)=0各等价热力学函数的微分关系：
d U ( S , V ) = − P d V + T d S dU(S,V) = - PdV + TdS dU(S,V)=−PdV+TdS d F ( T , V ) = − P d V − S d T dF(T,V) = - PdV - SdT dF(T,V)=−PdV−SdT d H ( S , P ) = V d P + T d S dH(S,P) = VdP + TdS dH(S,P)=VdP+TdS d G ( T , P ) = V d P − S d T dG(T,P) = VdP - SdT dG(T,P)=VdP−SdT
（2）统计物理：从微观状态总数 开始
- 经典粒子：
简并度，能级占据数，总粒子数
Ω l − M B = ω l a l a l ! \Omega_{l-MB} = \frac {{\omega_l }^{a_l }}{a_l !} Ωl−MB=al!ωlal Ω = N ! ∏ l Ω l − M B \Omega = N! \prod_{l} \Omega_{l-MB} Ω=N!l∏Ωl−MB - 费米子：
在 简并度 中 挑能级占据数 进行去序排列
Ω l − F D = C ω l a l \Omega_{l-FD} = C^{a_l } _ {\omega_l } Ωl−FD=Cωlal Ω = ∏ l Ω l − F D \Omega = \prod_{l} \Omega_{l - FD} Ω=l∏Ωl−FD - 玻色子：
在 简并度 + 能级占据数 - 1 进行去序排列
Ω l − B E = C a l + ω l − 1 ω l − 1 \Omega_{l-BE} = C^{\omega_l -1} _ {a_l + \omega_l -1 } Ωl−BE=Cal+ωl−1ωl−1 Ω = ∏ l Ω l − B E \Omega = \prod_{l} \Omega_{l - BE} Ω=l∏Ωl−BE
（3）系综：微正则，正则，巨正则
- 微观态 ：
微观态就是明确地获得每个粒子的位置 x 和动量 p，能够被最详尽描述的状态
微正则 (Boltzmann)：孤立系
处于平衡态的孤立宏观系统（确定能量 U）等可能的出现于所有可能的态上
从孤立系的微观态的相空间出发，定义了熵 S = K T ( l n ( Ω p o s i t i o n ) + l n ( Ω m o m e n t u m ) ) S = KT (ln(\Omega_{position}) + ln(\Omega_{momentum})) S=KT(ln(Ωposition)+ln(Ωmomentum))正则 (Gibbs)：热平衡
和热库达到热平衡的系统（确定温度 T） 某个微观态出现的概率
将同热库耦合视作 微正则系综（有固定状态数），部分微观态数出发，定义了一个相对概率
P ( i ) P ( j ) = Ω R ( U 0 − E i ) Ω R ( U 0 − E j ) = Ω R ( U 0 ) e − β E i Ω R ( U 0 ) e − β E j \frac{P(i)}{P(j)} = \frac{\Omega_R(U_0 - E_i)}{\Omega_R(U_0 - E_j)} = \frac{\Omega_R(U_0 )e^{-\beta E_i}}{\Omega_R(U_0 )e^{-\beta E_j}} P(j)P(i)=ΩR(U0−Ej)ΩR(U0−Ei)=ΩR(U0)e−βEjΩR(U0)e−βEi 有用到 Taylor 展开 l n ( Ω R ( U 0 − E ) ) = l n ( Ω R ( U 0 ) ) − β E + O ( E 2 ) ln(\Omega_R(U_0 - E)) = ln(\Omega_R(U_0)) - \beta E + O(E^2) ln(ΩR(U0−E))=ln(ΩR(U0))−βE+O(E2)
引入归一化因子，定义出配分函数
Z = Σ i e − β E ( i ) Z = \Sigma_i e^{-\beta E(i)} Z=Σie−βE(i)巨正则：热平衡 & 粒子数平衡
和热库达到热平衡且粒子数平衡的系统（确定T, N） 某个微观态出现的概率
同样，相对概率如上所示
P ( i ) P ( j ) = Ω R ( ( U 0 − E i ) ( N 0 − N i ) ) Ω R ( ( U 0 − E j ) , ( N 0 − N j ) ) = Ω R ( U 0 ) e − β E i e β μ N i Ω R ( U 0 ) e − β E j e β μ N j \frac{P(i)}{P(j)} = \frac{\Omega_R((U_0 - E_i)(N_0-N_i))}{\Omega_R((U_0 - E_j),(N_0 - N_j))} = \frac{\Omega_R(U_0 )e^{-\beta E_i} e^{\beta \mu N_i}}{\Omega_R(U_0 )e^{-\beta E_j} e^{\beta \mu N_j}} P(j)P(i)=ΩR((U0−Ej),(N0−Nj))ΩR((U0−Ei)(N0−Ni))=ΩR(U0)e−βEjeβμNjΩR(U0)e−βEieβμNi
有用到 Taylor 展开 l n ( Ω R ( ( U 0 − E ) , ( N 0 − N ) ) ) = l n ( Ω R ( U 0 , N 0 ) ) − β E + β μ N + O ( E 2 ) ln(\Omega_R((U_0 - E),(N_0-N))) = ln(\Omega_R(U_0,N_0)) - \beta E + \beta \mu N + O(E^2) ln(ΩR((U0−E),(N0−N)))=ln(ΩR(U0,N0))−βE+βμN+O(E2)
引入归一化因子，定义出巨配分函数得
Z = Σ N Σ i ( N ) e μ β N e − β E i Z = \Sigma_N \Sigma_{i(N)} e^{\mu \beta N} e^{-\beta E_i} Z=ΣNΣi(N)eμβNe−βEi