2. 数列极限
2.4 收敛准则
收敛数列一定有界，有界数列不一定收敛。
问题：
（1）有界数列加什么条件可以保证收敛？
（2）有界数列不加其他条件，可得到什么弱一些的结论？
2.4.1 单调有界定理
【定理2.4.1】单调有界数列必定收敛。（单调增加有上界或单调减少有下界）
【证】不妨设 { x n } \{x_{n}\} {xn}单调增加，有上界。
以 { x n } \{x_{n}\} {xn}为集合的数集（有重复的只能算一个元素）有上界，则必有上确界（确界存在定理）
记上确界为 β \beta β。
（1） β \beta β是上界， ∀ n , x n ≤ β \forall n, x_{n}\le \beta ∀n,xn≤β；
（2） β \beta β是最小上界 : ∀ ε > 0 , β − ε :\forall \varepsilon >0,\beta - \varepsilon :∀ε>0,β−ε不是上界，即 ∃ n 0 \exists n_{0} ∃n0使得 x n 0 > β − ε x_{n_{0}}>\beta - \varepsilon xn0>β−ε
取 N = n 0 , ∀ n > N : x N = x n 0 ≤ x n N=n_{0}, \forall n > N:x_{N}=x_{n_{0}}\le x_{n} N=n0,∀n>N:xN=xn0≤xn（数列单调增加）
又 β − ε < x n 0 ≤ x n ≤ β \beta - \varepsilon<x_{n_{0}}\le x_{n}\le \beta β−ε<xn0≤xn≤β
即 β − ε < x n ≤ β < β + ε \beta - \varepsilon< x_{n}\le \beta<\beta + \varepsilon β−ε<xn≤β<β+ε
亦即 ∣ x n − β ∣ < ε |x_{n}-\beta|<\varepsilon ∣xn−β∣<ε
所以 lim n → ∞ x n = β \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\beta n→∞limxn=β
【注】定理的意义 lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a n→∞limxn=a， ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ x n − a ∣ < ε \forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n>N:|x_{n}-a|<\varepsilon ∀ε>0,∃N,∀n>N:∣xn−a∣<ε，有时候 a a a不知道，没法求解，用单调有界定理很有用，能间接求出 a a a
【例2.4.1】设 x 1 > 0 x_{1}>0 x1>0， x n + 1 = 1 + x n 1 + x n , n = 2 , 3 , . . . x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}},n=2,3,... xn+1=1+1+xnxn,n=2,3,...，要求证明 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛，并求 lim n → ∞ x n \lim\limits_{n\to\infty}x_{n} n→∞limxn。
【解】 x 1 > 0 , x 2 = 1 + x 1 1 + x 1 > 0 x_{1}>0,x_{2}=1+\frac{x_{1}}{1+x_{1}}>0 x1>0,x2=1+1+x1x1>0
假设 x k > 0 x_{k}>0 xk>0则 x k + 1 = 1 + x k 1 + x k > 0 x_{k+1}=1+\frac{x_{k}}{1+x_{k}}>0 xk+1=1+1+xkxk>0
由数学归纳法可知， x n > 0 x_{n}>0 xn>0
所以 1 < x n = 1 + x n − 1 1 + x n − 1 < 1 + x n x n = 2 , n = 2 , 3 , . . . 1<x_{n}=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}<1+\frac{x_{n}}{x_{n}}=2,n=2,3,... 1<xn=1+1+xn−1xn−1<1+xnxn=2,n=2,3,...
即 { x n } \{x_{n}\} {xn}有界
x n + 1 − x n = 1 + x n 1 + x n − ( 1 + x n − 1 1 + x n − 1 ) = x n + x n x n − 1 − x n − 1 − x n x n − 1 ( 1 + x n ) ( 1 + x n − 1 ) = x n − x n − 1 ( 1 + x n ) ( 1 + x n − 1 ) x_{n+1}-x_{n}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}-(1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}})=\frac{x_{n}+x_{n}x_{n-1}-x_{n-1}-x_{n}x_{n-1}}{(1+x_{n})(1+x_{n-1})}=\frac{x_{n}-x_{n-1}}{(1+x_{n})(1+x_{n-1})} xn+1−xn=1+1+xnxn−(1+1+xn−1xn−1)=(1+xn)(1+xn−1)xn+xnxn−1−xn−1−xnxn−1=(1+xn)(1+xn−1)xn−xn−1
所以 x n + 1 − x n x_{n+1}-x_{n} xn+1−xn与 x n − x n − 1 x_{n}-x_{n-1} xn−xn−1同号
若 x 1 < x 2 x_{1}<x_{2} x1<x2，则 x 2 < x 3 , . . . , x n − 1 < x n x_{2}<x_{3},...,x_{n-1}<x_{n} x2<x3,...,xn−1<xn，若 x 1 > x 2 x_{1}>x_{2} x1>x2，则 x 2 > x 3 , . . . , x n − 1 > x n x_{2}>x_{3},...,x_{n-1}>x_{n} x2>x3,...,xn−1>xn，虽然我们无法判断这个数列到底是单调增加还是单调减少，但是我们可以判断这个数列是单调数列。
由于该数列单调且有界，则 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛。
设 lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a n→∞limxn=a，由 x n + 1 = 1 + x n 1 + x n x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}} xn+1=1+1+xnxn，对等式两边同时取极限得 a = 1 + a 1 + a a=1+\frac{a}{1+a} a=1+1+aa，即 a + a 2 = 1 + 2 a a+a^{2}=1+2a a+a2=1+2a，亦即 a 2 = 1 + a a^{2}=1+a a2=1+a，所以 a 2 − a − 1 = 0 a^{2}-a-1=0 a2−a−1=0，由于 1 < x n < 2 1<x_{n}<2 1<xn<2，所以 a = 1 + 1 + 4 2 = 1 + 5 2 a=\frac{1+\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} a=21+1+4=21+5
即 lim n → ∞ x n = 1 + 5 2 \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} n→∞limxn=21+5
【例2.4.2】设 0 < x 1 < 1 , x n + 1 = x n ( 1 − x n ) 0<x_{1}<1,x_{n+1}=x_{n}(1-x_{n}) 0<x1<1,xn+1=xn(1−xn)，证明 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛，并求极限。
【解】由于 0 < x 1 < 1 , 0 < x 2 = x 1 ( 1 − x 1 ) < 1 0<x_{1}<1,0<x_{2}=x_{1}(1-x_{1})<1 0<x1<1,0<x2=x1(1−x1)<1，假设 0 < x k < 1 0<x_{k}<1 0<xk<1，则 0 < x k + 1 = x k ( 1 − x k ) < 1 0<x_{k+1}=x_{k}(1-x_{k})<1 0<xk+1=xk(1−xk)<1，由数学归纳法知 0 < x n < 1 0<x_{n}<1 0<xn<1，所以 { x n } \{x_{n}\} {xn}有界。
x n + 1 − x n = x n ( 1 − x n ) − x n = − x n 2 < 0 x_{n+1}-x_{n}=x_{n}(1-x_{n})-x_{n}=-x_{n}^{2}<0 xn+1−xn=xn(1−xn)−xn=−xn2<0
所以 x n + 1 < x n x_{n+1}<x_{n} xn+1<xn，所以 { x n } \{x_{n}\} {xn}是严格单调减少数列。
由于 { x n } \{x_{n}\} {xn}单调减少有下界 0 0 0，所以 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛，设 lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a n→∞limxn=a，由 x n + 1 = x n ( 1 − x n ) x_{n+1}=x_{n}(1-x_{n}) xn+1=xn(1−xn)，等式两边同时取极限得 a = a ( 1 − a ) a=a(1-a) a=a(1−a)，由于 { x n } \{x_{n}\} {xn}单调减少有下界 0 0 0，所以 a = 0 a=0 a=0，即 lim n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=0 n→∞limxn=0
【计算这个 x n x_{n} xn和哪种无穷小量差不多（如 1 n \frac{1}{n} n1）】
lim n → ∞ ( n x n ) = lim n → ∞ n 1 x n \lim\limits_{n\to\infty}(nx_{n})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\frac{1}{x_{n}}} n→∞lim(nxn)=n→∞limxn1n
由于 1 x n \frac{1}{x_{n}} xn1严格单调增加且 lim n → ∞ 1 x n = + ∞ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_{n}}=+\infty n→∞limxn1=+∞，可以用Stolz定理，所以 lim n → ∞ n − ( n − 1 ) 1 x n − 1 x n − 1 = lim n → ∞ 1 x n − 1 − x n x n x n − 1 = lim n → ∞ x n x n − 1 x n − 1 − x n = lim n → ∞ x n − 1 2 ( 1 − x n − 1 ) x n − 1 − x n − 1 ( 1 − x n − 1 ) = lim n → ∞ x n − 1 2 ( 1 − x n − 1 ) x n − 1 2 = lim n → ∞ ( 1 − x n − 1 ) = 1 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-(n-1)}{\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n-1}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{x_{n-1}-x_{n}}{x_{n}x_{n-1}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}x_{n-1}}{x_{n-1}-x_{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}^{2}(1-x_{n-1})}{x_{n-1}-x_{n-1}(1-x_{n-1})}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}^{2}(1-x_{n-1})}{x_{n-1}^{2}}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-x_{n-1})=1 n→∞limxn1−xn−11n−(n−1)=n→∞limxnxn−1xn−1−xn1=n→∞limxn−1−xnxnxn−1=n→∞limxn−1−xn−1(1−xn−1)xn−12(1−xn−1)=n→∞limxn−12xn−12(1−xn−1)=n→∞lim(1−xn−1)=1
说明 lim n → ∞ x n 1 n = 1 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{\frac{1}{n}}=1 n→∞limn1xn=1，即说明 { x n } \{x_{n}\} {xn}和 { 1 n } \{\frac{1}{n}\} {n1}是一种等价的关系，这个等价的关系是通过Stolz定理求出来的，以后会讲到。