音频进阶学习十二——Z变换一（Z变换、收敛域、性质与定理）

前言

在之前博客中，对于线性常系数差分方程求解中，我们提到了对于差分方程频域上求解有一种方法，叫做Z变换。

本章博客中，将对于Z变换的作用，公式，收敛域，性质与定理做一个详细的介绍。当然，Z变换公式的推导一样是以复指数序列和共轭相关性为基础，如果对于此还不是很熟悉可以先看看之前的对于DTFT推导的博客。

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一、Z变换

1.Z变换的作用

前面我们说过对于一个离散序列我们使用复指数序列表示后，可以使用DTFT进行离散傅里叶变换：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
与之对应的IDTFT表示形式为：
$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$
其中，$e^{-j\omega n}$为模长为1 的复指数。

对于DTFT的存在条件前文也说过，必须要满足一致收敛，均方收敛，冲击表示。那么在对于不满足DTFT条件下，需要引入一个新的序列进行分析，这一过程就叫做Z变换。

2.Z变换公式

我们之前的文章中说过，$z$表示在复平面上的点，根据欧拉公式，$z=r\ast e^{j\omega }$，其中$r$为模长，那么$z^{-n}=r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，对于Z变换，和DTFT表示一样，对于序列表示为复指数序列：
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}$$
对于Z反变换
$$x[n]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

3.Z的状态表示

分析$z=r\ast e^{j\omega }$时，会有三种情况

1）$r=1$

这个很好理解，当$r=1$时，$z^n=r^n\ast e^{-j\omega n}=>z^n=e^{j\omega n}$，而对于复指数$z^{-n}$，Z变换其实就是DTFT：
$$X(z){|}_{z=e^{j\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}=X(e^{j\omega })$$

2）$0<r<1$

当$0<r<1$，为了方便展示，乘上一个$10$的系数，对于$10\ast z^n=10\ast r^n\ast e^{-j\omega n}$，它在复平面上的极坐标实际上是越转越小，如下图：

对于$r^n{e}^{j\omega n}$的实部和虚部，在当$n$逐渐变大时，Re和Im呈指数衰减。对于$r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，那么$n$越大，Re和Im呈指数增长。

3）$r>1$

而当 $r>1$时，情况正好相反，它在复平面上的极坐标实际上是越转越大。

对于$r^n{e}^{j\omega n}$实部与虚部也是随着$n$的增大而呈指数增长。而对于$r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，那么$n$越大，Re和Im呈指数衰减。

4.关于Z的解释

理解复指数$z$的状态之后，我们再来思考为什么要引入复指数$z$？

根据之前文章对于DTFT的理解，根据欧拉公式引入复指数$e^{j\omega n}$，根据复指数的正交性来判断是否序列在某一个频率上有影响，此时复指数$e^{j\omega n}$模长为1，即单位圆。

而对于$z^n=r^n\ast e^{j\omega n}$中，对于复指数的模长为$r^n$，根据正交性来计算投影，如果在${\omega }_k$上处于正交，那说明对于该${\omega }_k$不存在影响，这与$r^n$无关，而$r^n$的作用：

• 当$r>1$：$r^{-n}$ 会衰减指数增长的信号，例如$x[n]=2^n$
• 当$0<r<1$：$r^{-n}$ 会放大指数增长的信号，例如$x[n]=(\frac{1}{2}{)}^n$

这种情况下就可以对于某些信号进行收敛，进而进行频域分析。值得注意的是，傅里叶变换后得到的叫做频域，而Z变换之后得到的叫做Z域，Z域也不仅仅是分析频率的作用。

二、收敛域

1.收敛域的定义

收敛域 (Region of Convergence, ROC) 是指复平面中 $z$ 的所有值（或区域），使得 Z 变换所涉及的无限级数绝对收敛。也就是说，对于Z变换有：
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n},z\in \mathbb{C},z=r{e}^{j\omega }$$
其中$\mathbb{C}$是复数集合，而要满足上述式子绝对收敛，那么则有：
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]z^{-n}|=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]||z^{-n}|<\infty$$
收敛域 ROC是所有使上述条件成立的 $z$值组成的集合。如果去除$e^{j\omega n}$的表示，即当
$$|X(z)|\le \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]r^{-n}|$$
$z$的值满足收敛。

2.收敛域的表示方式

根据Z变换公式$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，结合上图不难看出，对于序列的收敛取决于$r,n$的取值范围，例如：

• 当$r>1$时，当$n$趋向正无穷的时候，序列是衰减的，而当$n$趋向负无穷的时候，序列是增长的
• 当$0<r<1$时，当$n$趋向正无穷的时候，序列是增长的，而当$n$趋向负无穷的时候，序列是衰减的

所以对于满足Z变换收敛${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x[n]z^{-n}|<\infty$，可以将其拆分为$n<0，n\ge 0$的表示形式：
$$\begin{gathered} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]r^{-n}|=\sum _{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{-n}|+\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n]r^{-n}|=> \\ =\sum _{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|+\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{r}{)}^n| \end{gathered}$$

3.ROC的分析

我们知道收敛域ROC是一组复平面上的集合，上文中将Z变换进行正次幂表示，拆分成$n<0，n\ge 0$两种情况进行分析收敛域：
$$|X(z)|\le \sum _{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|+\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{r}{)}^n|$$
那么对这两种情况进行单独的分析。

1）当$n\ge 0$时

当$n\ge 0$时，也就是分析上述中${\sum }_{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{r}{)}^n|$的收敛域。

现在假设当$r=R_{x-}$时，满足${\sum }_{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n|<\infty$，那么当$r>R_{x-}$，一定满足${\sum }_{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n|<\infty$。具体分析如下：
当$r>R_{x-}$，令$r=k{R}_{x-},k>1$，则
$$\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{k^n{R}_{x-}^n}{)}^n|\le \sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n||\frac{1}{k^n}|<\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n|<\infty$$

如果使用复平面进行表示，就如同下图：

也就是说收敛域$|z|>R_{x-}$，即ROC为以原点为圆心的圆外部分。

2）当$n<0$时

当$n<0$时，也就是分析上述中${\sum }_{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|$的收敛域。

现在假设当$r=R_{x+}$时，满足${\sum }_{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|<\infty$，那么当$r<R_{x+}$，一定满足${\sum }_{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|<\infty$（具体分析和上述一样，不具体进行展示了）。

如果使用复平面进行表示，就如同下图：

也就是说收敛域$|z|<R_{x+}$，即ROC为以原点为圆心的圆内部分。

3）整体ROC复平面

从上文分析两种情况结合来看，满足Z变换公式成立条件，需要满足收敛域$|z|<R_{x+},|z|>R_{x-}$，即$R_{x-}<|z|<R_{x+}$，所以

• 当$R_{x-}>R_{x+}$，不存在收敛域，即Z变换公式成立不存在
• 当$R_{x-}<R_{x+}$，存在收敛域，它表示为复平面上的圆环，如下图
  

4.极点与零点

当$X(z)=0$时，将$Z$的取值叫做零点
当$X(z)=\infty$时，将$Z$的取值叫做极点

三、Z变换ROC举例

1.不同的序列的收敛

• 有限长序列：有限长序列是指仅在有限个时刻具有非零值，其余时刻值为零的离散信号。也就是$x[n]=0,n<N_1||n>N_2$，其中$N_1,N_2$分别是信号的起始和终止时间。
  对于有限长序列，仅在有限范围内非零，所以Z变换一定收敛。

• 无限长序列：又分为左边无限长（左边序列/负序列），右边无限长（右边序列/正序列），双边无限长。
  对于左边序列，满足$R_{-}<ROC$
  对于右边序列，满足$R_{+}>ROC$
  对于双边序列，满足$R_{-}<ROC<R_{+}$

• 因果序列：和因果系统相似，因果序列指的是在当前时刻或未来时刻的值只取决于当前或过去的输入，不依赖未来的输入。即$x[n]=0,n<0$
  即可以看作上面右边序列。

2.右边序列

右边序列是指$x[n]=0,n<N$。现在令$x[n]=a^{n}u[n]$，求$X(z)$的收敛域：

分析：$x[n]$不仅是一个右边序列，还是一个因果序列，将其代入Z变换中
$$\begin{gathered} X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^{n}u[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n=> \\ =(a{z}^{-1}{)}^1+(a{z}^{-1}{)}^2+(a{z}^{-1}{)}^3+...+(a{z}^{-1}{)}^n \end{gathered}$$
实际上就是一个等比公式，则对于等比公式前$n$项求和为：
$$\begin{gathered} a_n=a_1\times q^{n-1} \\ {S}_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \\ \underset{n=\infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q},|q|<1 \end{gathered}$$
其中$a_1$是首项，$q$为公比，$S_n$为总和。在上述中首项$a_1=1$，$q=a{z}^{-1}$，所以
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$$
由于该序列是一个右边序列，也就是$n⟶\infty$，对于$z=r\ast e^{j\omega }$，则收敛域为
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n<\infty ⟺(a{z}^{-1})<1⟺|z|>|a|$$
其中极点为$a$，如下图

3.左边序列

左边序列是指$x[n]=0,n\le 0$。现在令$x[n]=-a^{n}u[-n-1]$，求$X(z)$的收敛域：

分析，将$x[n]$代入Z变换：
$$\begin{gathered} X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=0}^{\infty }{a}^{n}u[-n-1]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(a{z}^{-1}{)}^n=> \\ -\sum _{n=1}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(a^{-1}z{)}^n \end{gathered}$$
根据等比公式求和
$$\begin{gathered} X(z)=-\sum _{n=1}^{\infty }(a^{-1}z{)}^n=\frac{-a^{-1}z}{1-a^{-1}z}=> \\ \frac{(-a^{-1}z)\times (a{z}^{-1})}{(1-a^{-1}z)\times (a{z}^{-1})}=\frac{1}{1-a{z}^{-1}} \end{gathered}$$
由于该序列是一个左边序列，则收敛域为
$$X(z)=|-\sum _{n=1}^{\infty }(a^{-1}z{)}^n|<\infty ⟺(a^{-1}z)<1⟺|z|<|a|$$

其中极点为$a$，如下图

四、Z变换的性质与定理

1.性质

对于性质的介绍，之前介绍DTFT和DFS中都已经重复说过了，不过这里我们需要关注的是对于收敛域的影响.

2.定理

• 初值定理：
  如果$x[n]$是因果序列，即$n<0,x[n]=0$，则$x[0]={\lim }_{z\to \infty }X(z)$

总结

本文通过图像和公式推导结合的方式来介绍了Z变换的公式和收敛域，其中由于篇幅（已经万字）的原因，并没有对Z变换的性质与定理做详细的推导，实际上在之前的DTFT性质推导中也有过介绍，虽然不相同但是思路是一样的。有兴趣的同学可以自己尝试一下。

下一篇文章中将进一步对于Z变换的使用上做深入介绍。

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