7.无穷级数收敛域习题

7.无穷级数收敛域习题

第6题 收敛域

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}(x-1{)}^n$ 的收敛半径及临界点收敛性。

解题步骤

1. 用比值判别法求收敛半径

设一般项为：
$$a_n=\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}(x-1{)}^n.$$

根据比值判别法，计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$：
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{3^{n+1}+(-2{)}^{n+1}}{n+1}(x-1{)}^{n+1}}{\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}(x-1{)}^n}\right|.$$

化简分式：
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{|x-1|}{n+1}\cdot \frac{3^{n+1}+(-2{)}^{n+1}}{3^n+(-2{)}^n}.$$

当 $n\to \infty$ 时：

• $3^{n+1}\sim 3\cdot 3^n$，且 $(-2{)}^{n+1}\sim -2\cdot (-2{)}^n$。
• 因此，分子分母的主导项近似为：
  $$\frac{3\cdot 3^n}{3^n}=3\text{或}\frac{-2\cdot (-2{)}^n}{(-2{)}^n}=-2.$$

从而得到：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x-1|\cdot \max \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)=|x-1|.$$

由比值判别法，级数收敛的必要条件是：
$$|x-1|<R,$$
其中 $R=1$。因此，级数的收敛半径为：
$$\boxed{R=1}.$$

2. 初步确定收敛区间

由以上分析，幂级数的收敛区间为：
$$(1-R,1+R)=(0,2).$$

我们需要进一步判断临界点 $x=0$ 和 $x=2$ 的收敛性。

3. 判断临界点 $x=2$

当 $x=2$ 时，代入级数得：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}(2-1{)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}.$$

展开一般项：
$$\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}.$$

该级数可以拆分为两部分：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n}{n}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-2{)}^n}{n}.$$

1. 第一部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{3^n}{n}$：
   $$\frac{3^n}{n}\to \infty \text{（指数增长导致发散）}.$$

2. 第二部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-2{)}^n}{n}$：
   交错项 $(-2{)}^n$ 的绝对值 $\frac{2^n}{n}$ 同样因指数增长导致发散。

因此，级数在 $x=2$ 时 发散。

4. 判断临界点 $x=0$

当 $x=0$ 时，代入级数得：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}(0-1{)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}(-1{)}^n.$$

展开一般项：
$$\frac{(3^n+(-2{)}^n)(-1{)}^n}{n}.$$

同样拆分为两部分：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n(-1{)}^n}{n}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-2{)}^n(-1{)}^n}{n}.$$

1. 第一部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{3^n(-1{)}^n}{n}$：
   $$\text{由于 ∣3n∣ 指数增长，该部分发散。}$$

2. 第二部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-2{)}^n(-1{)}^n}{n}$：
   $$\text{同理，∣(−2)n∣ 指数增长，该部分发散。}$$

因此，级数在 $x=0$ 时 发散。

5. 判断临界点 $x=\frac{2}{3}$

当 $x=\frac{2}{3}$ 时，代入级数得：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}{\left(\frac{2}{3}-1\right)}^n.$$

此时 $\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$，级数变为：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{n}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n.$$

展开一般项：
$$\frac{(3^n+(-2{)}^n)(-1{)}^n}{n\cdot 3^n}.$$

拆分为两部分：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}{\left(\frac{-2}{3}\right)}^n.$$

1. 第一部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$ 是交错调和级数，收敛。

2. 第二部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}{\left(\frac{-2}{3}\right)}^n$：

   • 绝对值为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$，与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 比较，因快速衰减 收敛。

因此，在 $x=\frac{2}{3}$ 时，级数 收敛。

6. 最终结论

• 收敛半径：$R=1$。
• 收敛区间：$\boxed{\left[\frac{2}{3},2\right)}$。

第7题 收敛域

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n}{2^n}(x-1{)}^{2n}$ 的收敛半径及收敛区间。

解题步骤

[原有内容保持不变…]

1. 一般项分析

设一般项为：
$$a_n=(-1{)}^n\frac{n}{2^n}(x-1{)}^{2n}.$$

注意到幂次为 $2n$，可以定义：
$$y=(x-1{)}^2.$$

级数可以变为关于 $y$ 的幂级数：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{y}^n,$$
其中 $b_n=(-1{)}^n\frac{n}{2^n}$。

2. 用比值判别法求收敛半径

根据比值判别法，计算：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|.$$

将 $b_n$ 带入：
$$\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\left|\frac{(-1{)}^{n+1}\frac{n+1}{2^{n+1}}}{(-1{)}^n\frac{n}{2^n}}\right|.$$

化简分式：
$$\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{2}.$$

当 $n\to \infty$ 时：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\frac{1}{2}.$$

因此，关于 $y$ 的收敛半径为：
$$R_y=2.$$

由于 $y=(x-1{)}^2$，关于 $x$ 的变量有：
$$(x-1{)}^2<2⟹|x-1|<\sqrt{2}.$$

3. 初步确定收敛区间

根据上述结果，幂级数在 $x$ 的收敛区间为：
$$(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}).$$

需要进一步判断临界点 $x=1-\sqrt{2}$ 和 $x=1+\sqrt{2}$ 的收敛性。

4. 判断临界点收敛性

1. 在 $x=1-\sqrt{2}$ 时：
   此时 $(x-1{)}^2=2$，级数变为：
   $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n}{2^n}(2{)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n}n.$$
   由于 $n$ 随着 $n\to \infty$ 单调发散，该级数 发散。

2. 在 $x=1+\sqrt{2}$ 时：
   同理，此时 $(x-1{)}^2=2$，级数变为：
   $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n}n.$$
   该级数也 发散。

5. 最终结论

• 收敛半径：$R=\sqrt{2}$。
• 收敛区间：$\boxed{(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})}$。

在两个临界点 $x=1-\sqrt{2}$ 和 $x=1+\sqrt{2}$，级数均 发散。