1.鲸鱼优化算法WOA原理
2.VRPTW数学模型
VRPTW问题基于VRP问题，每个客户点都有一个时间窗口，表示可以在某个时间范围内访问。目标是在满足时间窗口和车辆容量限制的情况下，最小化总行驶距离或成本。
目标函数定义为车辆使用数量与总距离之和：
min 1000 ∑ k ∈ K ∑ j ∈ Δ + ( 0 ) x 0 j k + ∑ k ∈ K ∑ ( i , j ) ∈ A c i j x i j k + \min1000\sum_{k\in K}\sum_{j\in\Delta^{+}(0)}x_{0jk}+\sum_{k\in K}\sum_{(i,j)\in A}c_{ij}x_{ijk^{+}} min1000k∈K∑j∈Δ+(0)∑x0jk+k∈K∑(i,j)∈A∑cijxijk+
每个用户只能被一辆车访问：
∑ k ∈ K ∑ j ∈ Δ + ( i ) x i j k = 1 ∀ i ∈ N \sum_{k\in K}\sum_{j\in\Delta^{+}(i)}x_{ijk}=1\quad\forall i\in N k∈K∑j∈Δ+(i)∑xijk=1∀i∈N
流量限制：
∑ j ∈ Δ + ( 0 ) x 0 j k = 1 ∀ k ∈ K \sum_{j\in\Delta^{+}(0)}x_{0jk}=1\quad\forall k\in K j∈Δ+(0)∑x0jk=1∀k∈K
∑ i ∈ Δ − ( j ) x i j k − ∑ i ∈ Δ + ( j ) x i i k = 0 ∀ k ∈ K , ∀ j ∈ N \sum_{i\in\Delta^{-}(j)}x_{ijk}-\sum_{i\in\Delta^{+}(j)}x_{iik}=0\quad\forall k\in K,\forall j\in N i∈Δ−(j)∑xijk−i∈Δ+(j)∑xiik=0∀k∈K,∀j∈N
∑ i ∈ Δ − ( n + 1 ) x i , n + 1 , k = 1 ∀ k ∈ K \sum_{i\in\Delta^{-}(n+1)}x_{i,n+1,k}=1\quad\forall k\in K i∈Δ−(n+1)∑xi,n+1,k=1∀k∈K
硬时间窗约束：
w i k + s i + t i j − w j k ≤ ( 1 − x i j k ) M i j , ∀ k ∈ K , ∀ ( i , j ) ∈ A w_{ik}+s_{i}+t_{ij}-w_{jk}\leq(1-x_{ijk})M_{ij},\forall k\in K,\forall(i,j)\in A wik+si+tij−wjk≤(1−xijk)Mij,∀k∈K,∀(i,j)∈A
a i ( ∑ j ∈ Δ + ( i ) x i j k ) ≤ w i k ≤ b i ( ∑ j ∈ Δ + ( i ) x i j k ) ∀ k ∈ K , ∀ i ∈ N a_{i}\left(\sum_{j\in\Delta^{+}(i)}x_{ijk}\right)\leq w_{ik}\leq b_{i}\left(\sum_{j\in\Delta^{+}(i)}x_{ijk}\right)\quad\forall k\in K,\forall i\in N ai
j∈Δ+(i)∑xijk
≤wik≤bi
j∈Δ+(i)∑xijk
∀k∈K,∀i∈N
E ≤ w i k ≤ L ∀ k ∈ K , ∀ i ∈ { 0 , n + 1 } E\leq w_{ik}\leq L\quad\forall k\in K,\forall i\in\{0,n+1\} E≤wik≤L∀k∈K,∀i∈{0,n+1}
载重约束：
∑ i ∈ N d i ∑ j ∈ Δ + ( i ) x i j k ≤ C ∀ k ∈ K \sum_{i\in N}d_{i}\sum_{j\in\Delta^{+}(i)}x_{ijk}\leq C\quad\forall k\in K i∈N∑dij∈Δ+(i)∑xijk≤C∀k∈K
3.结果展示
4.参考文献
[1] 李琳, 刘士新, 唐加福. 改进的蚁群算法求解带时间窗的车辆路径问题[J]. 控制与决策, 2010(09):102-106.