P1073 [NOIP 2009 提高组] 最优贸易

题目背景

本题原题数据极弱，Subtask 0 中的测试点为原题测试点，Subtask 1 中的测试点为 Hack 数据。

题目描述

$C$ 国有 $n$ 个大城市和 $m$ 条道路，每条道路连接这 $n$ 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $m$ 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$ 条。

$C$ 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 $n$ 个城市的标号从 $1\sim n$，阿龙决定从 $1$ 号城市出发，并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 $C$ 国有 $5$ 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 $1\sim n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4,3,5,6,1$。

阿龙可以选择如下一条线路：$1\to 2\to 3\to 5$，并在 $2$ 号城市以 $3$ 的价格买入水晶球，在 $3$ 号城市以 $5$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $2$。

阿龙也可以选择如下一条线路：$1\to 4\to 5\to 4\to 5$，并在第 $1$ 次到达 $5$ 号城市时以 $1$ 的价格买入水晶球，在第 $2$ 次到达 $4$ 号城市时以 $6$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $5$。

现在给出 $n$ 个城市的水晶球价格，$m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 $n$ 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。

接下来 $m$ 行，每行有 $3$ 个正整数 $x,y,z$，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 $z=1$，表示这条道路是城市 $x$ 到城市 $y$ 之间的单向道路；如果 $z=2$，表示这条道路为城市 $x$ 和城市 $y$ 之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 $0$。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

输出 #1

5

说明/提示

【数据范围】

输入数据保证 $1$ 号城市可以到达 $n$ 号城市。

对于 $10\%$ 的数据，$1\le n\le 6$。

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 100$。

对于 $50\%$ 的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100000$，$1\le m\le 500000$，$1\le x,y\le n$，$1\le z\le 2$，$1\leq $ 各城市的编号 $\le n$。

水晶球价格 $\le 100$。

NOIP 2009 提高组 第三题

解题思路

• 分层图将原始图扩展为三层，分别代表不同的贸易状态：
• 第一层：未购买任何商品。
• 第二层：已购买但未卖出商品。
• 第三层：已购买并卖出商品。
• 通过在这些层之间建立边来表示买入和卖出操作，并使用SPFA算法计算最长路径（即最大利润）。

代码解释

• 分层图构建：
• 第一层到第二层的边代表买入商品，权重为商品价格的负值（表示花费）。
• 第二层到第三层的边代表卖出商品，权重为商品价格的正值（表示收入）。

图的扩展：

• 单向边（z=1）在第一、二、三层之间建立单向连接。
• 双向边（z=2）在第一、二、三层之间建立双向连接。

SPFA算法：

• 用于计算从起点到终点的最长路径，因为需要最大化利润。
• 初始化距离数组为极小值，起点距离为0。
• 通过队列优化松弛操作，更新到各点的最大距离。
• 输出结果：
• 最终结果为第三层终点（n*3）的距离，即最大利润。

注意事项

• 确保图的边权设置正确，买入为负，卖出为正。
• SPFA算法适用于含负权边的图，但需注意负环的存在（本题无负环）。
• 分层图的层间转移需清晰，避免遗漏或错误连接。

详细代码

//最优贸易（分层最短路径）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
//一共有 3 层：
//第一层为没买没卖
//第二层为买了没卖
//第三层为买了卖了 
int n,m,h[N],w[N],to[N],ne[N],tot=0,dis[N],vis[N];
void add(int u,int v,int d){
	tot++;
	to[tot]=v;
	w[tot]=d;
	ne[tot]=h[u];
	h[u]=tot;
}
void spfa(int o){//spfa求最长路 
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(dis,0xaf,sizeof(dis));
	queue<int>q;q.push(o);dis[o]=0;vis[o]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i=h[u];i;i=ne[i]){
			int v=to[i];
			if(dis[v]<dis[u]+w[i]){
				dis[v]=dis[u]+w[i];
				if(!vis[v]){
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	int x,y,z;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){cin>>z;add(i,i+n,-z);add(i+n,i+n*2,z);}
	//i 到 i+n 为买入，钱要减
	//i+n 到 i+n+n 为卖出，钱要加 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>x>>y>>z;
		if(z==1){add(x,y,0);add(x+n,y+n,0);add(x+n+n,y+n+n,0);}
		if(z==2){
			add(x,y,0);add(x+n,y+n,0);add(x+n+n,y+n+n,0);
			add(y,x,0);add(y+n,x+n,0);add(y+n+n,x+n+n,0);
		}
	}
	spfa(1);
	cout<<dis[n*3];//最后的答案在dis[n*3] 
	return 0;
}