深度学习（鱼书）day06--神经网络的学习（后两节）

发布于：2025-07-31 ⋅ 阅读:(18) ⋅ 点赞:(0)

深度学习（鱼书）day06–神经网络的学习（后两节）

在这里插入图片描述

一、梯度

像在这里插入图片描述
这样的由全部变量的偏导数汇总而成的向量称为梯度（gradient）。

梯度实现的代码：

def numerical_gradient(f, x):
	h = 1e-4 # 0.0001
	grad = np.zeros_like(x) # 生成和x形状相同的数组
	for idx in range(x.size):
		tmp_val = x[idx]
		# f(x+h)的计算
		x[idx] = tmp_val + h
		fxh1 = f(x)
		# f(x-h)的计算
		x[idx] = tmp_val - h 
		fxh2 = f(x)
		grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h)
   		x[idx] = tmp_val # 还原值
   	return grad

这里我们求点(3,4)、(0,2)、(3,0)处的梯度。

numerical_gradient(function_2, np.array([3.0, 4.0]))
# array([ 6., 8.])
numerical_gradient(function_2, np.array([0.0, 2.0]))
# array([ 0., 4.])
numerical_gradient(function_2, np.array([3.0, 0.0]))
# array([ 6., 0.])

在这里插入图片描述

这里我们画的是元素值为负梯度的向量，梯度指向函数f(x0,x1)的“最低处”（最小值），就像指南针一样，所有的箭头都指向同一点。其次，我们发现离“最低处”越远，箭头越大。

梯度会指向各点处的函数值降低的方向。更严格地讲，梯度指示的方向是各点处的函数值减小最多的方向。在复杂的函数中，梯度指示的方向基本上都不是函数值最小处。

在这里插入图片描述

  1. 梯度法：通过不断地沿梯度方向前进，逐渐减小函数值的过程就是梯度法（gradient method）

    • 函数的极小值、最小值以及被称为鞍点（saddle point）的地方，梯度为 0。虽然梯度法是要寻找梯度为 0的地方，但是那个地方不一定就是最小值（也有可能是极小值或者鞍点）。当函数很复杂且呈扁平状时，学习可能会进入一个（几乎）平坦的地区，陷入被称为“学习高原”的无法前进的停滞期。

    • 虽然梯度的方向并不一定指向最小值，但沿着它的方向能够最大限度地减小函数的值。因此，在寻找函数的最小值（或者尽可能小的值）的位置的任务中，要以梯度的信息为线索，决定前进的方向。

    • 寻找最小值的梯度法称为梯度下降法（gradient descent method），寻找最大值的梯度法称为梯度上升法（gradient ascent method）。 但是 通过反转损失函数的符号， 求最小值的问题和求最大值的问题会变成相同的问题，因此“下降”还是“上升”的差异本质上并不重要。一般来说，神经网络（深度学习）中，梯度法主要是指梯度下降法。

    数学式子表示梯度法：
    x0=x0−η∂f∂x0x1=x1−η∂f∂x1 x_0 = x_0 - \eta \frac{\partial f}{\partial x_0} \\ x_1 = x_1 - \eta \frac{\partial f}{\partial x_1} x0​=x0​−η∂x0​∂f​x1​=x1​−η∂x1​∂f​
    η表示更新量，在神经网络的学习中，称为学习率（learning rate）。学习率决定在一次学习中，应该学习多少，以及在多大程度上更新参数。这表示更新一次的式子，这个步骤会反复执行，逐渐减小函数值。

    在神经网络的学习中，一般会一边改变学习率的值，一边确认学习是否正确进行了。

    def gradient_descent(f,init_x,lr=0.01,step_sum=100):
    x = init_x
    for i in range(step_num):
        grad = numerical_gradient(f, x)
        x -= lr * grad
    return x

    参数f是要进行最优化的函数，init_x是初始值，lr是学习率learning rate，step_num是梯度法的重复次数。

在这里插入图片描述

init_x = np.array([-3.0, 4.0])
gradient_descent(function_2,init_x,lr=0.1,step_num=100)

在这里插入图片描述

原点处是最低的地方，函数的取值一点点在向其靠近。
在这里插入图片描述

学习率过大或者过小都无法得到好的结果。我们来做个实验验证一下。

学习率过大的例子：lr=10.0

init_x = np.array([-3.0, 4.0])
gradient_descent(function_2, init_x=init_x, lr=10.0, step_num=100)
# array([ -2.58983747e+13, -1.29524862e+12])

学习率过小的例子：lr=1e-10

init_x = np.array([-3.0, 4.0])
gradient_descent(function_2, init_x=init_x, lr=1e-10, step_num=100)
# array([-2.99999994, 3.99999992])

实验结果表明，学习率过大的话，会发散成一个很大的值；反过来，学习率过小的话，基本上没怎么更新就结束了。

像学习率这样的参数称为超参数。这是一种和神经网络的参数（权重和偏置）性质不同的参数。相对于神经网络的权重参数是通过训练数据和学习算法自动获得的，学习率这样的超参数则是人工设定的。一般来说，超参数需要尝试多个值，以便找到一种可以使学习顺利进行的设定。

  1. 神经网络的梯度

    神经网络的学习也要求梯度，这里所说的梯度是指损失函数关于权重参数的梯度：
    $$

    \boldsymbol{W} = \begin{pmatrix}
    w_{11} & w_{12} & w_{13} \
    w_{21} & w_{22} & w_{23}
    \end{pmatrix}
    \
    \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}} = \begin{pmatrix}
    \frac{\partial L}{\partial w_{11}} & \frac{\partial L}{\partial w_{12}} & \frac{\partial L}{\partial w_{13}} \
    \frac{\partial L}{\partial w_{21}} & \frac{\partial L}{\partial w_{22}} & \frac{\partial L}{\partial w_{23}}
    \end{pmatrix}
    $$
    我们以一个简单的神经网络为例，来实现求梯度的代码:

    import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录中的文件而进行的设定
import numpy as np
from common.functions import softmax, cross_entropy_error
from common.gradient import numerical_gradient

class simpleNet:
    def __init__(self):
        self.W = np.random.randn(2, 3)

    def pridect(self,x):
        return np.dot(x,self.W)

    def loss(self,x,t):
        z = self.pridect(x)
        y = softmax(z)
        loss = cross_entropy_error(y, t)
        return loss
    
net = simpleNet()
print(net.W)

x = np.array([0.6, 0.9])
p = net.pridect(x)
print(p)
t = np.array([0, 0, 1])
loss = net.loss(x, t)
print(loss)
print("------------------------------------------->计算参数梯度")
# def f(W):
#     return net.loss(x, t)
f = lambda w: net.loss(x, t)
dW = numerical_gradient(f, net.W)
print(dW)

在这里插入图片描述

二、学习算法的实现

神经网络的学习步骤：

前提

神经网络存在合适的权重和偏置，调整权重和偏置以便拟合训练数据的过程称为“学习”。神经网络的学习分成下面4个步骤。

步骤1（mini-batch）

从训练数据中随机选出一部分数据，这部分数据称为mini-batch。我们的目标是减小mini-batch的损失函数的值。

步骤2（计算梯度）

为了减小mini-batch的损失函数的值，需要求出各个权重参数的梯度。梯度表示损失函数的值减小最多的方向。

步骤3（更新参数）

将权重参数沿梯度方向进行微小更新。

步骤4（重复）

重复步骤1、步骤2、步骤3。

这里使用的数据是随机选择的mini batch数据，所以又称为随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。“随机”指的是“随机选择的”的意思，随机梯度下降法是“对随机选择的数据进行的梯度下降法”。深度学习的很多框架中，随机梯度下降法一般由一个名为SGD的函数来实现。SGD来源于随机梯度下降法的英文名称的首字母。

我们来实现手写数字识别的神经网络。这里以2层神经网络（隐藏层为1层的网络）为对象，使用MNIST数据集进行学习。

  1. 2层神经网络的类

    import sys, os
sys.path.append(os.pardir)
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradient

class TwoLayerNet:
    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(output_size)
    def predict(self, x):
        W1, W2 = self.params['W1'],self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'],self.params['b2']
        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)
        return y

    def loss(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        return cross_entropy_error(y, t)

    def accuracy(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        y = np.argmax(y, axis=1)
        t = np.argmax(t, axis=1)
        accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
        return accuracy

    def numerical_gradient(self, x, t):
        loss_w = lambda w: self.loss(x, t)
        grads = {}
        grads['W1'] = numerical_gradient(loss_w, self.params['W1']) 
        # 这里的numerical_gradient()是之前定义的求数值微分的函数
        grads['b1'] = numerical_gradient(loss_w, self.params['b1'])
        grads['W2'] = numerical_gradient(loss_w, self.params['W2'])
        grads['b2'] = numerical_gradient()

    def gradient(self, x, t):
        W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
        grads = {}
        batch_num = x.shape[0]

        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)

        dy = (y - t) / batch_num
        grads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)
        grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)

        da1 = np.dot(dy, W2.T)
        dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1
        grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)
        grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0)

        return grads

在这里插入图片描述

  1. mini-batch的实现

    所谓mini-batch学习，就是从训练数据中随机选择一部分数据（称为mini-batch），再以这些mini-batch为对象，使用梯度法更新参数的过程。下面，我们就以TwoLayerNet类为对象，使用MNIST数据集进行学习。

    # coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet

# 读入数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)

iters_num = 10000  # 适当设定循环的次数
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1

train_loss_list = []

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    t_batch = t_train[batch_mask]
    
    # 计算梯度
    #grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
    grad = network.gradient(x_batch, t_batch)
    
    # 更新参数
    for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
    
    loss = network.loss(x_batch, t_batch)
    train_loss_list.append(loss)

    mini-batch的大小为100，需要每次从60000个训练数据中随机取出100个数据（图像数据和正确解标签数据）。然后，对这个包含100笔数据的mini-batch求梯度，使用随机梯度下降法（SGD）更新参数。这里，梯度法的更新次数（循环的次数）为10000。每更新一次，都对训练数据计算损失函数的值，并把该值添加到数组中。

在这里插入图片描述

可以发现随着学习的进行，损失函数的值在不断减小。这是学习正常进行的信号，表示神经网络的权重参数在逐渐拟合数据。

  1. 基于测试数据的评价

    神经网络的学习中，必须确认是否能够正确识别训练数据以外的其他数据，即确认是否会发生过拟合。过拟合是指，虽然训练数据中的数字图像能被正确辨别，但是不在训练数据中的数字图像却无法被识别的现象。

    • epoch是一个单位。一个 epoch表示学习中所有训练数据均被使用过一次时的更新次数。比如，对于 10000笔训练数据，用大小为 100笔数据的mini-batch进行学习时，重复随机梯度下降法 100次，所有的训练数据就都被“看过”了A。此时，100次就是一个 epoch。

    完善代码：

    # coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet

# 读入数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)

iters_num = 10000  # 适当设定循环的次数
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1

train_loss_list = []
train_acc_list = []
test_acc_list = []

iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    t_batch = t_train[batch_mask]
    
    # 计算梯度
    #grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
    grad = network.gradient(x_batch, t_batch)
    
    # 更新参数
    for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
    
    loss = network.loss(x_batch, t_batch)
    train_loss_list.append(loss)
    
    if i % iter_per_epoch == 0:
        train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)
        test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)
        train_acc_list.append(train_acc)
        test_acc_list.append(test_acc)
        print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))

# 绘制图形
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', linestyle='--')
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

在这里插入图片描述

实线表示训练数据的识别精度，虚线表示测试数据的识别精度。如图所示，随着epoch的前进（学习的进行），我们发现使用训练数据和测试数据评价的识别精度都提高了，并且，这两个识别精度基本上没有差异（两条线基本重叠在一起）。因此，可以说这次的学习中没有发生过拟合的现象。

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