数学与经济管理

线性规划

在约束条件下求极值

线性规划问题的数学模型通常由线性目标函数、线性约束条件、变量非负条件组成(实际问题中的变量一般都是非负的)。

快速解题步骤(求交点):
①根据题目条件列出不等式或不等式组;
②将不等关系特殊化为等式，两两等式联立求交点;
③若交点值满足所有约束条件，直接代入目标函数求得极值即可:若交点值不满足约束条件，继续计算其他两两等式。(若交点值不满足实际情况，取附近值即可，如小数个人)。

例题

(1)某企业需要采用甲、乙、丙三种原材料生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。生产两种产品所需原材料数量、单位产品可获得利润以及企业现有原材料数如下表所示，则公司可以获得的最大利润是　　　万元。取得最大利润时，原材料　　　尚有剩余。

解:设Ⅰ和Ⅱ产品数量为x , y 则有:
x+y<=4  , 4x+3y<=12  ,  x+3y<=6 ,三式求解得x=2,y=4/3。所以9x+12y=34.
取得最大利润时不满足一式，即原料甲有剩余。

(2)非负变量x和 y，在x≤4,y≤3 和 x+2y<=8 的约束条件下，目标函数 2x+3y 的最大值为   14 

蒙特卡罗方法

使用随机数来解决计算问题。不断抽样，逐渐逼近，采样越多，越近似最优解。
扇形面积＝，正方形面积=，扇形面积/正方形面积＝／＝
现往正方形内随机打点，在扇形内点的概率＝扇形面积/正方形面积＝，即可求得π=概率*4。

例题

为近似计算XYZ三维空间内由三个圆柱x2+y2<＝1，y2+z2<＝1，x2+z2<＝1相交部分V的体积，以下四种方案中，　D　　最容易理解，最容易编程实现。
A.在z=0平面中的圆上x2+y2≤1，近似计算二重积分
B.画出V的形状，将其分解成多个简单形状，分别计算体积后，再求和
C.将V看作多个区域的交集，利用有关并集、差集的体积计算交集体积
D.V位于某正立方体M内，利用M内均匀分布的随机点落在V中的比例进行计算

数学建模

数学建模是对现实世界的一种近似的、简化的、易于求解的抽象描述。通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型。

数学建模过程

(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数字工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数字工具。
(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。
(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。如敏感性分析:测试模型对参数变化的敏感性。对计算结果进行检验,分析计算结果对参数变化的反应程度。
(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建摸过程。
(7)模型应用：将模型应用于新的数据集或场景中，以进行预测或决策支持。应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

实际问题的数学模型往往都是近似的，常带有多个参数，而参数会随环境因素而变化。根据数学模型求出最优解或满意解后，还需要进行灵敏性分析，对计算结果进行检验，分析计算结果对参数变化的反应程度。如果对于参数的微小变化引发计算结果的很大变化，那么这种计算结果并不可靠，并且不可信。

数学建模方法

直接分析法：根据对问题直接的内在的认识，直接构造出模型。
类比法：根据之前类似的模型构造出一个新的模型。
数据分析法：通过实验获得与问题相关的大量数据，用统计分析的方法来进行建模
构想法：对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的方法和描述，而后用现有的方法来建模，不断地完善。

 数学建模原则

• 需要在简单性和准确性之间求得平衡
• 对同一问题可以建立多种数学模型。数学模型也常带有一些可变的参数。选用哪个模型，或选择什么样的参数，这需要反复多次试验，根据求解失败的教训或用户的反馈意见逐步对模型进行修正或改进，逐步完善模型

动态规划

动态规划的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，以解决最优化问题的算法策略。

例题

用一辆载重为10吨的卡车装运某仓库中的货物(不用考虑装车时货物的大小)，这些货物单件的重量和运输利润见下表。适当选择装运一些货物各若干件，就能获得最大总利润　538　元。

决策论

决策论是研究为了达到预期目的，从多个可供选择的方案中如何选取最好或满意方案的学科。

决策的六个要素：
决策者、可供选择的方案(包括行动、策略)、衡量选择方案的准则(目的、目标、正确性等)、事件(被决策的对象)、每一事件的发生将会产生的某种结果、决策者的价值观。

决策论的分类
确定型决策：决策环境是确定的，结果也是确定的。
风险决策：决策环境是不确定的，但是结果发生的概率是一致的。
不确定型决策：决策环境不确定，且结果也不确定，完全凭主观意识来决定

不确定型决策的五种方案

• 乐观主义准则，大中取大max(max)，先取每个方案最大的收益，再取所有最大收益中最大的那个;
• 悲观主义准则，小中取大max(min)，先取每个方案最小的收益，再取所有最小收益中最大的那个;
• 折中主义准则，设定折中系数a，用每个方案的最大收益*a+最小收益*(1-a)，选择每个方案中计算结果最大的那个，可知，a=1时为乐观主义，a=0时为悲观主义:
• 等可能性准则，设定每个可能结果的发生都是等可能的，这样就知道每个结果发生的概率，即将不确定型的问题转换为了风险决策问题;
• 后悔值准则，最小最大后悔值min(max)，计算各个方案在每种情况下的后悔值(后悔值=各个方案在该情况下的最大收益-该情况下该方案的收益)，找出各个方案的最大后悔值，再从这些最大后悔值中选出最小值，这个最小值对应的策略就是选择的策略。

例：如下，某公司根据下一年度宏观经济的增长趋势预测决定投资策略，各状态收益表如下：

乐观主义准则：表中积极方案的最大收益是500，稳健方案的最大收益是300，保守方案的最大收益是400，三者的最大值是500，因此选择其对应的积极投资方案。
悲观主义准则：表中积极方案的最小收益是50，稳健方案的最小收益是150，保守方案的最小收益是200，三者的最大值是200，因此选择其对应的保守投资方案。
后悔值准则：根据表中数据可计算出后悔值矩阵如下:

积极方案的最大后悔值为350，稳健方案的最大后悔值为250，保守方案的最大后悔值为300，三者中的最小值为250，因此选择其对应的稳健投资方案。