脉冲串函数在数字信号处理中的核心应用与价值

在数字信号处理（DSP）领域，脉冲串函数是连接信号维度转换、描述离散域关键操作的基础性数学工具。它以单位冲激信号 / 序列为核心，通过 “选通” 或 “加权” 机制，将复杂的信号处理操作（如采样、抽取、插值、频谱计算）转化为可借助傅里叶变换（FT/DTFT/DFT）分析的形式，解决了 “连续与离散信号衔接” 及 “离散操作数学建模” 两大核心难题，是 DSP 理论体系与工程实践中不可或缺的关键组件。

一、脉冲串函数的定义与核心形式

脉冲串函数本质是由单位冲激信号 / 序列构成的周期性或非周期性集合，其核心特征是 “在特定时刻 / 索引处保留信号值，其余时刻 / 索引处为零”，从而实现对信号的 “筛选” 或 “采样”。根据作用对象的不同，DSP 中常用的脉冲串函数主要分为两类：

1. 连续时间脉冲串（采样脉冲）

连续时间脉冲串主要用于将连续信号转化为离散信号，其数学表达式为：
$$p(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$$

其中，$T_s$为采样周期（对应采样频率 $f_s=1/T_s$），$\delta (t)$ 为连续时间单位冲激信号（满足 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$，仅在 $t=0$ 处有非零值）。该脉冲串的核心特征是周期性，仅在 $t=n{T}_s$（$n$ 为整数）处产生冲激，恰好对应连续信号的采样时刻。

2. 离散时间脉冲串（选通脉冲）

离散时间脉冲串主要用于离散信号的多速率处理（如抽取、插值），其数学表达式为：
$$p_d[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kM]$$

其中，$M$ 为周期（对应抽取 / 插值间隔），$\delta [n]$ 为离散时间单位脉冲序列（满足 $\delta [0]=1$，$\delta [n]=0$（$n\ne 0$））。该脉冲串同样具有周期性，仅在 $n=kM$（$k$ 为整数）处为 1，其余索引处为 0，可实现对离散信号特定索引值的 “筛选”。

二、脉冲串函数的四大核心应用场景

脉冲串函数的应用贯穿 DSP 的关键环节，从信号的初始采样到后续的速率转换、频谱计算，均依赖其实现数学建模与频域分析。以下结合具体原理与实例，详细阐述其核心应用：

1. 连续信号采样：实现 “连续→离散” 的维度转换

采样是 DSP 的起点，需将模拟域的连续信号 $x_a(t)$ 转化为数字域的离散序列 $x[n]=x_a(n{T}_s)$。脉冲串函数在此过程中扮演 “采样模板” 的角色，通过与连续信号相乘，精准 “选通” 采样时刻的信号值，同时为频域分析提供数学基础。

（1）数学建模

连续信号 $x_a(t)$ 与采样脉冲串 $p(t)$ 相乘，得到 “采样后的连续信号”（本质是离散序列的连续域表示）：
$$x_a^{\ast }(t)=x_a(t)\cdot p(t)=x_a(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$$

根据连续冲激信号的 “筛选性质”（$f(t)\delta (t-t_0)=f(t_0)\delta (t-t_0)$），上式可简化为：
$$x_a^{\ast }(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)$$

该式清晰体现：采样后的信号仅在 $t=n{T}_s$ 处保留 $ x_a(nT_s)$（即离散序列 $x[n]$ 的幅值），其余时刻为零，完美实现了 “连续信号离散化” 的数学描述。

（2）频域分析价值

若直接定义 $x[n]=x_a(n{T}_s)$，仅能描述离散序列的幅值，无法分析采样过程的频域特性（如混叠、采样定理）。而采样脉冲串 $p(t)$ 的傅里叶变换为：
$$P(j\Omega )=\frac{2\pi }{T_s}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -k{\Omega }_s)$$

（其中 ${\Omega }_s=2\pi /T_s$ 为采样角频率）。结合傅里叶变换的 “乘积→卷积” 性质，可得到采样信号的频域表达式：
$$X_a^{\ast }(j\Omega )=\frac{1}{2\pi }{X}_a(j\Omega )\ast P(j\Omega )=\frac{1}{T_s}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{X}_a(j(\Omega -k{\Omega }_s))$$

该式正是奈奎斯特采样定理的核心数学依据：当 ${\Omega }_s>2{\Omega }_m$（${\Omega }_m$ 为信号最高角频率）时，各周期延拓的频谱不重叠，可通过低通滤波无失真恢复原连续信号；若采样率不足，则会出现频谱混叠。若无脉冲串函数，这一关键频域关系将无法建立。

2. 离散信号抽取：保障 “降采样” 的频域分析严谨性

抽取（Downsampling）是多速率信号处理中 “降低采样率” 的操作，定义为 “对离散序列 $x[n]$ 每隔 $M-1$ 个点取 1 个值”，即抽取后序列 $y[n]=x[Mn]$（$ M $ 为抽取因子）。脉冲串函数在此处的核心作用是将 “间隔选点” 这一离散操作转化为 “序列相乘”，从而关联抽取前后信号的 DTFT，分析频谱混叠问题。

（1）数学建模

构造周期为 $M$ 的离散脉冲串 $p_d[n]={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kM]$，抽取操作可通过 “原始序列与脉冲串相乘” 实现：
$$x_p[n]=x[n]\cdot p_d[n]=x[n]\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kM]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[kM]\delta [n-kM]$$

该式中，$x_p[n]$ 是 “完整索引的序列”，但仅在 $n=kM$ 处保留 $x[kM]$（即抽取序列的幅值），其余索引处为零。通过 “重索引”（令 $n=M{n}^{\prime }$），可直接得到抽取序列 $y[n^{\prime }]=x_p[M{n}^{\prime }]=x[M{n}^{\prime }]$，完成了抽取操作的数学具象化。

（2）频域分析价值

若不引入脉冲串，直接对 $y[n]=x[Mn]$ 求 DTFT，无法关联 $Y(e^{j\omega })$与$X(e^{j\omega })$。而通过脉冲串 $p_d[n]$，可先计算 $x_p[n]$ 的 DTFT：
Xp(ejω)=DTFT{x[n]⋅pd[n]}=12πX(ejω)∗Pd(ejω) X_p(e^{j\omega}) = \text{DTFT}\{x[n] \cdot p_d[n]\} = \frac{1}{2\pi} X(e^{j\omega}) * P_d(e^{j\omega}) Xp​(ejω)=DTFT{x[n]⋅pd​[n]}=2π1​X(ejω)∗Pd​(ejω)

其中，离散脉冲串的 DTFT 为 $P_d(e^{j\omega })=\frac{2\pi }{M}{\sum }_{k=0}^{M-1}\delta \left(\omega -\frac{2\pi k}{M}\right)$。代入卷积性质展开后可得：
$$X_p(e^{j\omega })=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X\left(e^{j\left(\omega -\frac{2\pi k}{M}\right)}\right)$$

由于 $y[n]=x_p[Mn]$，根据 DTFT 的 “时移缩放性质”，抽取序列的 DTFT 为：
$$Y(e^{j\omega })=X_p(e^{j\omega /M})=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X\left(e^{j\left(\frac{\omega -2\pi k}{M}\right)}\right)$$

该式揭示：抽取后的频谱是原频谱 “展宽 $M$ 倍” 并 “周期延拓叠加” 的结果，若原信号带宽超过 $\pi /M$，会出现频谱混叠 —— 这一结论为抽取前需加低通滤波器（抗混叠滤波）提供了理论依据，而脉冲串函数是推导该关系的唯一数学桥梁。

3. 离散信号插值：支撑 “升采样” 的频谱重构

插值（Upsampling）是 “提高采样率” 的操作，定义为 “在离散序列相邻点间插入 $L-1$ 个零”（$L$ 为插值因子），即插值后序列 $y[n]=x[n/L]$（$n$ 为 $L$ 的整数倍时取 $x[n/L]$，否则为零）。脉冲串函数在此处的作用是描述 “插入零” 的操作，同时揭示频谱扩展规律，为后续滤波重构提供指导。

（1）数学建模

构造周期为 $L$ 的离散脉冲串 $p_L[n]={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kL]$，插值序列可表示为：
$$y[n]=x\left[\lfloor \frac{n}{L}\rfloor \right]\cdot p_L[n]$$

该式表明：插值序列 $y[n]$ 仅在 $n=kL$ 处保留原序列 $x[k]$ 的值，其余索引处填充零，与抽取操作的 “选通” 逻辑形成互补，精准描述了 “升采样” 的核心过程。

（2）频域分析价值

对插值序列 $y[n]$ 求 DTFT，结合脉冲串的频域特性可得：
$$Y(e^{j\omega })=\frac{1}{L}\sum _{k=0}^{L-1}X\left(e^{j\left(\omega -\frac{2\pi k}{L}\right)}\right)$$

该式揭示：插值后的频谱是原频谱 “压缩 $L$ 倍” 并沿 $\omega =2\pi k/L$ 周期延拓的结果（即频谱扩展）。若要恢复无失真的高采样率信号，需通过低通滤波（截止频率 $\pi /L$）滤除延拓产生的镜像频谱 —— 这一 “滤波需求” 的理论依据，正是通过脉冲串函数关联原序列与插值序列后推导得出的。

4. DFT 的周期延拓：连接 DTFT 与 DFT 的理论纽带

DFT 是 DSP 中实际计算信号频谱的工具，但 DFT 的本质是 “对离散序列的周期延拓求傅里叶级数（DFS）”。脉冲串函数通过描述 “周期延拓” 过程，揭示了 DFT 与 DTFT 的内在联系，为频谱计算提供了理论支撑。

（1）数学建模

离散序列 $x[n]$ 的 DTFT 是 $\omega$ 的连续周期函数（周期 $2\pi$），而 DFT 是 DTFT 在 $\omega =2\pi k/N$（$N$ 为 DFT 点数）处的采样值。DFT 的计算基于 “周期延拓序列” $\tilde{x}[n]={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }x[n-kN]$，该延拓过程可通过脉冲串卷积实现：
$$\tilde{x}[n]=x[n]\ast p_N[n]$$

其中，$p_N[n]={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN]$ 是周期为 $N$ 的离散脉冲串。卷积操作的物理意义是：将原序列 $x[n]$ 沿 $n=kN$ 平移并叠加，形成周期为 $N$ 的序列 $\tilde{x}[n]$。

（2）理论关联价值

对周期延拓序列 $\tilde{x}[n]$ 求 DFS，其系数 $\tilde{X}[k]$ 满足：
$$\tilde{X}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j2\pi kn/N}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}=X[k]$$

（即 DFS 系数等于 DFT 值）。同时，通过脉冲串的卷积性质，$\tilde{x}[n]=x[n]\ast p_N[n]$ 的 DTFT 为：
$$\tilde{X}(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\cdot P_N(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\cdot \frac{2\pi }{N}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -\frac{2\pi k}{N}\right)$$

该式表明：周期序列的 DTFT 是原序列 DTFT 在 $\omega =2\pi k/N$ 处的冲激采样，而 DFT 值正是这些冲激的强度 —— 脉冲串函数在此处完美连接了 “非周期序列的连续频谱（DTFT）” 与 “周期序列的离散频谱（DFT）”，解释了 DFT 的物理意义，为工程中通过 DFT 计算频谱提供了理论依据。

三、脉冲串函数的核心价值总结

脉冲串函数在 DSP 中的应用，本质是解决 “信号处理操作的数学建模” 与 “频域分析可行性” 两大问题，其核心价值可归纳为三点：

1. 维度转换桥梁：通过连续时间脉冲串，实现连续信号到离散信号的采样转换，同时保留频域可分析性，为采样定理的推导与应用奠定基础；

2. 离散操作具象化：将抽取（间隔选点）、插值（插入零）等离散操作转化为 “序列 × 脉冲串” 的数学形式，借助傅里叶变换的卷积性质，分析操作对频谱的影响（如混叠、扩展），为多速率处理的滤波器设计提供指导；

3. 理论关联纽带：通过离散脉冲串的卷积操作，实现离散序列的周期延拓，连接 DTFT（连续频谱）与 DFT（离散频谱），揭示 DFT 的本质，为实际频谱计算提供理论支撑。

综上，脉冲串函数是 DSP 从 “直观操作” 走向 “数学严谨性” 的关键工具，其应用贯穿信号处理的全流程，是理解与掌握 DSP 理论及工程实践的核心基础。