数值计算 --- B样条函数（B-spline）-易微帮

B-spline就是Basis Spline的简称：

术语B-spline一词，是由Isaac Jacob Schoenberg创造的。一个n阶的B-spline函数，是一个变量为x的n-1次分段多项式函数f(x)。分段函数之间，段与段之间的断点被称为knots。

B-spline的定义：

B-spline，可以看成是一系列控制点(Control points)和权重函数 $N_{i,D}$ (Weight function)的线性组合，简而言之，就是每个控制点乘以自己对应的权重系数然后再求和，就能得到B-spline曲线在对应位置的值。控制点是我们后期指定的，而权重函数是我们预先定义好的，不会因为q的改变而改变。

权重函数（注意：以下只讨论权重函数N，不涉及控制点CP）

权重函数 $N_{i,D}$ 的定义：

函数 $N_{i,D}$ 的定义，可以参考Cox–de Boor的递归公式。对于给定的knots，当D=1时，一阶权重函数N可以定义为：

一阶权重函数的图像：

有了一阶B函数以后，其他所有D>1的高阶权重函数都是基于这一函数生成的递归表达式：

其中权重函数 $N_{i,D}$ 有如下特征：

1， $N_{i,D}$ 是一个分段函数，其中，i表示第几段函数，D表示阶数。

2，如果 $N_{i,D}$ 函数的阶数为D,则每段函数都是一个D-1次多项式。

3，每段函数之间的断点，被称为knots，用非递减序列t0,t1,...tn表示，被称为knot vector。

4，一但knots确定了以后，那么每段函数之间的连续性等于D-2。

5，对每一段权重函数而言，他只在固定的一个区间内有值，其他地方都为0。这个区间就是u的定义域，他等于[ $t_{i}$ ~ $t_{i+D}$ )，有些地方叫knot span，是一个半开半闭区间。（此处，对knot span的定义不一定严谨）

比如说，对于上述的一阶权重函数 $N_{i,1}(u)$ 而言，阶数D=1，每段函数都是一个D-1=0阶多项式。对于第i段函数而言，u的定义区间为[ $t_{i}$ ~ $t_{i+1}$ )。对于第0段函数 $N_{0,1}(u)$ 而言，他的knot span为[0，1)，在[0，1)之间的函数值等于1，在这之外函数值都等于0。

为了简化上面所提到的这个高阶权重函数的定义，也为了简化计算，一般情况下，会把knot vector也就是函数之间的断点t0,t1,...tn，简化成一组非常递减的正整数。简而言之，就是把原来的t0,t1,...tn换成了0,1,...n。

为了更好的理解当D>1时的递归公式，我这里借用了一组别人的插图（见参考文献1）。

首先，让我们把目光放在图中三角形的最左上角的一个小三角形， $N_{0,1}$ , $N_{1,1}$ 和 $N_{0,2}$ ，其中还有两条红线把 $N_{0,1}$ 与 $N_{0,2}$ 和 $N_{1,1}$ 与 $N_{0,2}$ 分别连接了起来。他所要表达的是，要想求出二阶函数 $N_{0,2}$ ，我们需要先知道一阶函数 $N_{0,1}$ 和 $N_{1,1}$ 。也就是说，要想知道上图大三角形中左起第二列的所有二阶函数 $N_{0,2}$ ， $N_{1,2}$ ，。。。 $N_{4,2}$ ，必须先知道左起第一列的一阶函数 $N_{0,1}$ ， $N_{1,1}$ 。。。 $N_{5,1}$ 。依此类推，当我们要计算六阶函数 $N_{0,6}$ 时，首先需要先知道五阶函数 $N_{0,5}$ 和 $N_{1,5}$ ，其次我们需要相应的所有四阶函数，三阶函数。。。直到一阶函数。

从公式的角度看也一样，根据简化后的公式，我们发现要想得到阶数为D的第i条曲线，比如说 $N_{0,1}$ ，需要先知道阶数为D-1的第i条曲线 $N_{0,0}$ 和阶数为D-1的第i+1条曲线 $N_{1,0}$ 。比D低一阶的两条基础曲线前面大括号内的值，实际上就是这两条曲线的权重。

下面我们逐一探讨一下，几个不同阶数的权重函数 $N_{i,D}$ 。我这里再次强调，我们到目前为止都没有讨论过控制点CP，而只讨论权重函数，目的是为了避免让大家混淆权重函数和控制点，这两个B-spline中最重要的概念。因为，B-spline可以说就是这两个概念的线性组合，因为，只有分别理解他们的各自的作用，才能更好的理解B-spline。

一阶权重函数 $N_{i,1}(u)$ :

首先，我们知道权重函数都有一个有效区间，也就是u的定义域，函数在定义域之外的值都是0。一阶函数 $N_{i,1}(u)$ ，D=1，u=[i,i+1)，有效区间为i+1。

这里我们统一以7个knots为例，knot vector list $t_{i}$ ={0,1,2,3,4,5,6}，每段函数的knot span为1。对于第0段函数，也就是当i=0时，u的定义域为[0,1)，函数 $N_{0,1}(u)$ 的断点knot为0，1。对于最后一段函数，也就是第5段函数，此时，i=5，u=[5,6)，函数两端的端点knot为，5，6。注意，此时还没有用到递归函数。

一阶权重函数 $N_{i,1}(u)$ 的图像:

Matlab code:

二阶权重函数 $N_{i,2}(u)$ :

二阶函数 $N_{i,2}(u)$ ，D=2，u=[i,i+2)，第i段函数的有效区间为i+2。同样是7个knots，knot vector list $t_{i}$ ={0,1,2,3,4,5,6}，每段函数的knot span=D=2。

对于二阶权重函数的计算，此时我们需要用到递归函数（下图中的公式2）。

首先，我们把重点放在公式中的阶数D，当我们要计算 $N_{i,D}(u)$ ，我们预先要知道 $N_{i,D-1}(u)$ 和 $N_{i+1,D-1}(u)$ 。用文字来描述就是，要想得到阶数为D的第i条曲线，需要预先知道阶数为D-1的第i条曲线和阶数同为为D-1的第i+1条曲线。

同样，现在我们分别把i=0，1，5和D=2代入简化后的公式2，看一下二阶权重函数。

当i=0时，对于第0段函数 $N_{0,2}(u)$ 而言，定义域u=[0,2)。但是，用于合成他的两个(2-1)一阶函数 $N_{0,1}(u)$ 和 $N_{1,1}(u)$ 的定义域分别是[0,1)和[1，2)。这一点可以借助之前的递归图更好的看明白：

因此，当u=[0,1)时，仅仅只有函数 $N_{0,1}(u)$ 对函数 $N_{0,2}(u)$ 起作用，也就是上式中的前半部分 $uN_{0,1}(u)$ 。此时， $N_{1,1}(u)$ 等于0， $N_{0,1}(u)$ 等于1， $N_{0,2}(u)$ =u。同理，当u=[1,2)时，仅仅只有函数 $N_{1,1}(u)$ 对函数 $N_{0,2}(u)$ 起作用，也就是上式中的后半部分 $(2-u)N_{1,1}(u)$ 。此时， $N_{0,1}(u)$ 等于0， $N_{1,1}(u)$ 等于1， $N_{0,2}(u)$ =2-u。如下图所示：

当i=1时，u=[1,3)：

当i=4时，u=[4,6)：

二阶权重函数 $N_{i,2}(u)$ 的图像:

这里我对上图进行一个简单的说明，我们看上图中的第一幅图，也就是 $N_{0,2}(u)$ 的函数图像，他的第一段函数在0~1之间，此时y(u)=u,这是一个标准的y=x的函数图像，此时斜率为45°。现在我们把目光移到他的右半边，也就是第一段函数在1~2之间的图像，此时y(u)=2-u。熟悉函数图像的同学马上就会发现，他其实就是把y=-x的图像向上移动了2位得到的。

Matlab code:

三阶权重函数 $N_{i,3}(u)$ ：

三阶函数 $N_{i,3}(u)$ ，D=3，u=[i,i+3)，第i段函数的有效区间为i+3。总共7个knots，knot vector list $t_{i}$ ={0,1,2,3,4,5,6}，每段函数的knot span=D=3。

按照Cox–de Boor递归公式，要求三阶的权重函数，首先我们要先知道二阶的权重函数，而这些函数都已经在前面求出来了。

和前面一样，我们把i=0，1，4和D=3逐一代入简化后的公式2，逐一看一下三阶权重函数。首先我们来看一下三阶权重函数的第0段函数，也就是当i=0时,u=[0,3)时的函数 $N_{0,3}(u)$ ：

化简后得：

我们可以看到，和前面一样，为了求出 $N_{0,3}(u)$ ，我们需要先知道 $N_{0,2}(u)$ 和 $N_{1,2}(u)$ （前面已经算好了）。此时，我们要特别注意函数 $N_{0,3}(u)$ 的定义域u=[0,3)，用于合成他的子函数之一 $N_{0,2}(u)$ 的定义域是[0,2)，继而我们还会发现，对于 $N_{0,2}(u)$ 而言，用于合成他的子函数之一 $N_{0,1}(u)$ 的定义域是[0,1)，在这以外都是0。也就是说，对于这个递归分段函数，我们要特别注意他的有效区间，或者说是每一小段子函数的有效定义域。（这在递归图中会更加直观）