【矩阵论】2. 矩阵分解——正规分解——正规阵

矩阵论
1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式)
1. 准备知识——复数域上的内积域正交阵
1. 准备知识——相似对角化与合同&正定阵
2. 矩阵分解—— SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——乔利斯分解&平方根公式
2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规分解
2. 矩阵分解——单阵及特征值特征向量一些求法
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵运算与函数——张量积

矩阵分解可以得到简化的乘积矩阵，可以简化后续的计算与处理度

2.4.3 正规阵

a. 定义

若方阵A满足 $A^{H}A=A{A}^H$ ，则A为正规阵

正规条件：$A^{H}A=A{A}^H$

b. 正规阵特点

1. 正规阵必为方阵 ($A^{H}A与A{A}^H$ 的阶数相等，即行列数相等)
2. $A正规⟺A^H正规$ ，$A不正规⟺A^H不正规$

c. 常见正规阵

对角阵

对角阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & \ddots & \\ & & a_n\end{array}\right)$ 必正规

三角正规阵必对角

若三角阵 $B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ & b_2& \cdots & b_{2n}\\ & & \ddots & \\ & & & b_n\end{array}\right)$ 正规，则 $B=\left(\begin{array}{ccccc}{b}_1& & & & \\ & b_2& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & b_n& \end{array}\right)$ 为对角形

证明：严格三角阵不是正规阵
$$\begin{array}{rl}& 设B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_{12}& b_{13}\\ & b_2& b_{23}\\ & & b_3\end{array}\right)为正规阵，B^H=\left(\begin{array}{ccc}\overline{b_1}& & \\ \overline{b_{12}}& \overline{b_2}& \\ \overline{b_{13}}& \overline{b_{23}}& \overline{b_3}\end{array}\right)\\ & B{B}^H=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_{12}& b_{13}\\ & b_2& b_{23}\\ & & b_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\overline{b_1}& & \\ \overline{b_{12}}& \overline{b_2}& \\ \overline{b_{13}}& \overline{b_{23}}& \overline{b_3}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}|b_1{|}^2+|b_{12}{|}^2+|b_{13}{|}^2& & \\ & |b_{23}{|}^2+|b_2{|}^2& \\ & & |b_3{|}^2\end{array}\right)\\ & B^{H}B=\left(\begin{array}{ccc}\overline{b_1}& & \\ \overline{b_{12}}& \overline{b_2}& \\ \overline{b_{13}}& \overline{b_{23}}& \overline{b_3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_{12}& b_{13}\\ & b_2& b_{23}\\ & & b_3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}|b_1{|}^2& & \\ & |b_{12}{|}^2+|b_2{|}^2& \\ & & |b_{13}{|}^2+|b_{23}{|}^2+|b_3{|}^2\end{array}\right),\\ & 若B满足正规阵，则B^{H}B=B{B}^H,即\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{r}|b_1{|}^2=|b_1{|}^2+|b_{12}{|}^2+|b_{13}{|}^2\\ |b_{12}{|}^2+|b_2{|}^2=|b_{23}{|}^2+|b_2{|}^2\\ |b_3{|}^2=|b_{13}{|}^2+|b_{23}{|}^2+|b_3{|}^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{r}|b_{12}{|}^2=0\\ |b_{13}{|}^2=0\\ |b_{23}{|}^2=0\end{array}\\ & \Rightarrow b_{12}=b_{13}=b_{23}=0，即B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& & \\ & b_2& \\ & & b_3\end{array}\right)为对角形\end{array}$$

若分块阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right)$ 正规，则C=0，且B，D都正规，$A=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& D\end{array}\right)$
$$\begin{array}{rl}& A^{H}A=\left(\begin{array}{cc}{B}^H& 0\\ C^H& D^H\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{B}^{H}B& B^{H}C\\ C^{H}B& C^{H}C+D^{H}D\end{array}\right)\\ & A{A}^H=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}^H& 0\\ C^H& D^H\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}B{B}^H+C{C}^H& C{D}^H\\ D{C}^H& C^{H}C+D{D}^H\end{array}\right)\\ & 由于tr(A^{H}A)=tr(A{A}^H),\therefore tr(C{C}^H)=0,\\ & 利用迹公式可写tr(C{C}^H)=\sum |c_{i,j}{|}^2=0，其中C=(c_{i,j})，C为零阵\\ & 且B{B}^H=B^{H}B,D{D}^H=D^{H}D\end{array}$$
由证明过程可见，严格三角阵为非正规阵

H阵与斜H阵

Hermite阵与斜Hermite阵必正规
$$\begin{array}{r}若A是Hermite阵，则A^H=A，A^{H}A=AA=A{A}^H\end{array}$$

• 实对称阵与反对称阵都是正规阵

U阵

U阵必正规（实正交阵）
$$\begin{array}{r}{A}^{H}A=I=A{A}^H\end{array}$$

e. 正规阵的构造方法

倍数法则

若A正规，取倍数k，则kA为正规阵

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}0& i& i\\ i& 0& i\\ i& i& i\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}i& i\\ i& 2i\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)都是正规阵\\ A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right)为正规U阵，则\sqrt{2}A=\left(\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right)\end{array}$$

平移法则

若A正规，则 $A\pm cI$ 正规

$$\begin{array}{rl}若A是正规阵，则(A\pm cI{)}^H(A\pm cI)& =(A^H\pm cI)(A\pm cI)\\ & =A^{H}A\pm c{A}^H\pm cA+c^{2}I\\ & =A{A}^H\pm cA\pm c{A}^H+c^{2}I\\ & =(A\pm cI)(A^H\pm cI)\end{array}$$

U相似

若A正规，则 $Q^{H}AQ$ 也正规，其中Q为U阵($Q^H=Q^{-1}$)，即正规阵的U相似阵一定正规

证明：
$$\begin{array}{rl}& \because A^{H}A=A{A}^H，且存在U阵Q，使得Q^{H}AQ=B，即证B^{H}B=B{B}^H\\ & B^{H}B=(Q^{H}AQ{)}^H(Q^{H}AQ)=Q^H{A}^{H}Q{Q}^{H}AQ=Q^H{A}^{H}AQ\\ & B{B}^H=(Q^{H}AQ)(QA{Q}^H{)}^H=Q^{H}AQ{Q}^H{A}^{H}Q=Q^{H}A{A}^{H}Q\stackrel{A{A}^H=A^{H}A}{=}{Q}^H{A}^{H}AQ\\ & \therefore B^{H}B=B{B}^H,B为正规阵\end{array}$$

多项式正规

若 A 正规，则 $f(A)={\lambda }_{0}I+{\lambda }_{1}A+{\lambda }_2{A}^2+\cdots +{\lambda }_n{A}^K$ 正规

f. 正规阵与其H阵的特征向量相同

若A正规，则 $A^H$ 与 A 有相同的向量

$$\begin{array}{r}若A正规，且AX=\lambda X，则A^{H}X=\overline{\lambda }X\end{array}$$

证明
只 需 证 ( A H − λ ‾ I ) X = 0 , 即 ( A − λ I ) H X = 0 , 由 ( A − λ I ) X = 0 ∣ A − λ I ∣ 2 = 0 ⇒ ( ( A − λ I ) X ) H ( A − λ I ) X = 0 ⇒ X H ( A − λ I ) H ( A − λ I ) X = 0 由 于 A − λ I 正 规 ， ( A − λ I ) H ( A − λ I ) = ( A − λ I ) ( A − λ I ) H 即 有 X H ( ( A − λ I ) H ) H ( A − λ I ) H X = 0 ⇒ ( ( A − λ I ) H X ) H ( A − λ I ) H X = ∣ ( A − λ I ) H X ∣ 2 = 0 ⇒ ( A − λ I ) H X = 0 ⇒ ( A H − λ ‾ I ) X = 0 ⇒ A H X = λ ‾ X 故 结 论 得 证 ， 若 A 正 规 ， 则 A X = λ X    ⟺    A H X = λ ‾ X 其 中 ， 若 λ ( A ) = { λ 1 , ⋯   , λ n } , 则 λ ( A H ) = { λ 1 ‾ , ⋯   , λ n ‾ } \begin{aligned} &只需证 (A^H-\overline{\lambda}I)X=0,即(A-\lambda I)^HX=0,由(A-\lambda I)X=0\\ &\vert A-\lambda I \vert^2=0\Rightarrow ((A-\lambda I)X)^H(A-\lambda I)X=0\Rightarrow X^H(A-\lambda I)^H(A-\lambda I)X=0\\ &由于A-\lambda I 正规，(A-\lambda I)^H(A-\lambda I)=(A-\lambda I)(A-\lambda I)^H\\ &即有 X^H((A-\lambda I)^H)^H(A-\lambda I)^HX=0\\ &\Rightarrow ((A-\lambda I)^HX)^H(A-\lambda I)^HX=\vert (A-\lambda I)^HX\vert^2=0\\ &\Rightarrow (A-\lambda I)^HX=0\Rightarrow (A^H-\overline{\lambda}I)X=0\Rightarrow A^HX=\overline{\lambda}X\\ &故结论得证，若A正规，则AX=\lambda X\iff A^HX=\overline{\lambda}X\\ &其中，若\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\},则\lambda(A^H)=\{\overline{\lambda_1},\cdots,\overline{\lambda_n}\} \end{aligned} ​只需证(AH−λI)X=0,即(A−λI)HX=0,由(A−λI)X=0∣A−λI∣2=0⇒((A−λI)X)H(A−λI)X=0⇒XH(A−λI)H(A−λI)X=0由于A−λI正规，(A−λI)H(A−λI)=(A−λI)(A−λI)H即有XH((A−λI)H)H(A−λI)HX=0⇒((A−λI)HX)H(A−λI)HX=∣(A−λI)HX∣2=0⇒(A−λI)HX=0⇒(AH−λI)X=0⇒AHX=λX故结论得证，若A正规，则AX=λX⟺AHX=λX其中，若λ(A)={λ1​,⋯,λn​},则λ(AH)={λ1​​,⋯,λn​​}​

2.4.4 正规分解定理

(相似对角化)若 $A=A_{n\times n}$ 正规，则存在U阵Q，使 $Q^{H}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

证明
$$\begin{array}{rl}& 设A=A_{n\times n}正规，由U相似定理，Q^{H}AQ正规，由许尔公式，存在U阵Q，使\\ & Q^{H}AQ=D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \ast \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)为上三角阵\\ & D=Q^{H}AQ为正规三角阵，由"正规三角定理"可知D为对角阵\\ & 即Q^{-1}AQ=D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)成立\end{array}$$

a. 正规阵A恰有n个正交特向

$$\begin{array}{rl}& 由Q^{-1}AQ=D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)\Rightarrow AQ=QD\\ & \Rightarrow A\left(q_1,\cdots ,q_n\right)=\left(q_1,\cdots ,q_n\right)D\\ & \Rightarrow \left(A{q}_1,\cdots ,A{q}_n\right)=\left({\lambda }_1{q}_1,\cdots ,{\lambda }_n{q}_n\right)\\ & U阵Q为A的特征向量组成的矩阵，且n个特征向量相互正交，q_1\perp \cdots \perp q_n\end{array}$$

b. 正规分解方法

1. 先令特征根 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ ，求正交特征向量 $X_1\perp \cdots \perp X_n$

2. 令U阵 $Q=\left(q_1,\cdots ,q_n\right)=\left(\frac{X_1}{|X_1|},\cdots ,\frac{X_n}{|X_n|}\right)$

   则有U相似阵 $Q^{H}AQ=D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$ 为对角阵

3. 可写正规分解 $A=QD{Q}^H$

定义法

对矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 正规分解
$$\begin{array}{rl}& A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)为正规阵，计算可得{\lambda }_1=i,{\lambda }_2=-i，X_1=\left(\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right),\\ & 且X_1与X_2为不同特征值的特征向量，所以X_1\perp X_2\\ & 令U阵Q=\left(\begin{array}{c}\frac{X_1}{|X_1|},\frac{X_2}{|X_2|}\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right),可得Q^{H}AQ=D=\left(\begin{array}{cc}i& \\ & -i\end{array}\right)\\ & 则有正规分解A=QD{Q}^H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}i& \\ & -i\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}-i& 1\\ 1& -i\end{array}\right)\end{array}$$

平移法

令 B = ( 1 − 1 1 1 ) = I + A = ( 1 1 ) + ( 0 − 1 1 0 ) , 其 中 A 为 正 规 U 阵 λ ( B ) = { λ 1 , λ 2 } = { 1 + i , 1 − i } , X 1 = ( i 1 ) , X 2 = ( 1 i ) , 得 U 阵 Q = ( X 1 ∣ X 1 ∣ , X 2 ∣ X 2 ∣ ) = 1 2 ( i 1 1 i ) ， 故 有 正 规 分 解 A = Q D Q H = 1 2 ( i 1 1 i ) ( 1 + i 1 − i ) 1 2 ( − i 1 1 − i ) \begin{aligned} &令B=\left( \begin{matrix} 1&-1\\ 1&1 \end{matrix} \right)=I+A=\left( \begin{matrix} 1&\\ &1 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0&-1\\ 1&0 \end{matrix} \right),其中A为正规U阵\\ &\lambda(B)=\{\lambda_1,\lambda_2\}=\{1+i,1-i\},X_1=\left( \begin{matrix} i\\1 \end{matrix} \right),X_2=\left( \begin{matrix} 1\\i \end{matrix} \right),\\ &得U阵Q=\left(\frac{X_1}{\vert X_1\vert},\frac{X_2}{\vert X_2\vert}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} i&1\\ 1&i \end{matrix} \right)，故有正规分解A=QDQ^H\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} i&1\\ 1&i \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1+i&\\ &1-i \end{matrix} \right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} -i&1\\ 1&-i \end{matrix} \right) \end{aligned} ​令B=(11​−11​)=I+A=(1​1​)+(01​−10​),其中A为正规U阵λ(B)={λ1​,λ2​}={1+i,1−i},X1​=(i1​),X2​=(1i​),得U阵Q=(∣X1​∣X1​​,∣X2​∣X2​​)=2 ​1​(i1​1i​)，故有正规分解A=QDQH=2 ​1​(i1​1i​)(1+i​1−i​)2 ​1​(−i1​1−i​)​