CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：学习笔记
目录
一 . 了解树形结构
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
它具有以下的特点： 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点，除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树是递归定义的
判断是否是树的必要条件：
树的子树是不相交的
除了根节点之外，每个节点有且只有一个父亲节点
一棵包含n 个节点的树有 n -1条边
比如下图的树型结构中 包含了11个节点，有10条边，每个节点都只有一个父亲节点
2.相关概念
以下图当中的树型结构为例：
主要概念
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；
A的度为6，J的度为2，F的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；
树的度为6，即A的度为所有节点当中度的最大值
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
B、C、H、I，P，Q，K，L，M，N等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
A是B的父结点 ，同时也是 C,D,E,F,G等节点的父亲节点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点
B是A的孩子结点，与父亲节点相反
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
次要概念
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
二、二叉树基本概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
两种特殊的二叉树
完全二叉树
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。
完全二叉树的节点个数为
偶数个时：表示此完全二叉树的组成为：一个度为1的叶子节点+度为0的节点+度为2的节点
奇数个时：度为0的节点个数 + 度为 2 的节点个数
满二叉树
满二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的每层节点都达到了最大值，即每个父亲节点都包含了两个孩子节点，也就是说如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
三、二叉树的性质
若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的i-1次方 (i>0)个结点
节点最多时即满二叉树的情况，则第层的节点个数为 2 的i-1次方
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
最大节点数需要保证每层的节点数最多，即 2的0次方累加到2的i-1次方，等比数列求和可知最大节点数为 2的k次方-1
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2则有n0＝n2＋1
假设一个二叉树当中 度为 0 的节点有 n0 个，度为1 的节点有 n1个，则总结点数N= n0 + n1 + n2;
N个节点的二叉树包含N - 1 条边 即 N-1 = n1 + 2n2;
两式合并得到 n0 = n2 + n1;
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n +1) 向上取整
性质二反推可知
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有： 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
四 . 二叉树性质的应用
二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199
根据性质二， 二叉树共有399 个节点，度为2 的节点为199 个，则叶子节点为 度为2 的节点 +1 = 200个
在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n B n+1 C n-1 D n/2
完全二叉树当中，具有奇数个节点说明二叉树包含了一个度为 1 的节点，设度为0 的节点有 x 个，故 可知 2n - 1 = x + x - 1 故 2n = 2x , n = x ,说明度为0 的节点为 n 个，即叶子节点的个数为n 个，即A
一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383 B 384 C 385 D 386
完全二叉树的叶子节点的个数为奇数个，则不存在度为1 的节点， 则x + x -1 = 767 , 故结果为384，B
一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11 B 10 C 8 D 12
二叉树的节点为 531个， 则由 2 的9次方 = 512 ， 2 的10 次方为 1024，对532 对2取对数并向上取整，即结果为 10 ，这棵树的高度为10 ，B