【洛谷 B3637】最长上升子序列 题解（动态规划+最长上升子序列）

最长上升子序列

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 $10^6$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

样例输出 #1

4

提示

分别取出 $1$、$2$、$3$、$4$ 即可。

思路

首先，定义了一些基本变量和数组。n 是一个整数，表示序列的长度，a 是一个长度为 $N$ 的整数数组，用于存储序列的元素，dp 是一个长度为 $N$ 的长整型数组，用于存储动态规划的状态，表示以 a[i] 结尾的最长上升子序列的长度。

从输入中读取序列的长度 n，然后读取序列的每一个元素，存储在数组 a 中。

然后，进行动态规划。状态转移方程如下：

如果 $a[j]<a[i]$，则

$$dp[i]=\max (dp[i],dp[j]+1)$$

其中，$dp[i]$ 表示以 $a[i]$ 结尾的最长上升子序列的长度，$a$ 是输入的序列，$i$ 和 $j$ 是序列的索引。这个状态转移方程的意义是，如果 $a[j]$ 可以接在 $a[i]$ 前面，那么更新以 $a[i]$ 结尾的最长上升子序列的长度。

dp[i] 表示以 a[i] 结尾的最长上升子序列的长度。对于每一个 i，初始化 dp[i] 为 $1$，然后遍历 j 从 $1$ 到 i - 1，如果 a[j] 小于 a[i]，则更新 dp[i] 为 max(dp[i], dp[j] + 1)，这表示如果 a[j] 可以接在 a[i] 前面，那么更新以 a[i] 结尾的最长上升子序列的长度。

动态规划过程结束后，寻找 dp 数组中的最大值，这就是序列的最长上升子序列的长度，输出这个值。

AC代码

#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;

int n;
int a[N];
ll dp[N];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i] = 1;
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			if (a[j] < a[i]) {
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}