前言
本文探讨了带有匹配扰动的多智能体领航跟随一致性控制方法，并提供了相应的Matlab仿真代码。
具体的设计步骤如下：
- 将匹配扰动看为系统的扩张状态，设计扩张状态观测器，估计扰动的大小；
- 基于邻居节点间的状态误差设计控制器，并更具扰动估计值，在控制器中补偿扰动；
- 使用使用线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator，LQR）对控制器增益和观测器增益进行了优化设计。
本文所涉及到的关于图论和LQR的基础知识可参考如下博客：
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/373435683
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/139145957
- https://blog.csdn.net/qq_24649627/article/details/104690279
一、问题描述
多智能体系统由一个领航者和 N N N个含有匹配扰动跟随者组成。跟随者动力学模型为：
x ˙ i = A x i + B ( u i + d i ) y i = C x i \begin{array}{l} {{\dot x}_i} = A{x_i} + B({u_i} + {d_i})\\ {y_i} = C{x_i} \end{array} x˙i=Axi+B(ui+di)yi=Cxi
式中， i = 1 , 2 , . . . , N i=1,2,...,N i=1,2,...,N， x i x_i xi、 u i u_i ui、 d i d_i di和 y i y_i yi分别是跟随者的状态、控制输入、匹配扰动和系统输出。
领导者动力学模型为：
x ˙ 0 = A x 0 y 0 = C x 0 \begin{array}{c} {{\dot x}_0} = A{x_0}\\ {y_0} = C{x_0} \end{array} x˙0=Ax0y0=Cx0
式中， x 0 x_0 x0和 y 0 y_0 y0分别为领航者的状态和系统输出。
二、基于LQR的观测器和控制器设计
1.观测器设计
将扰动 d i d_i di看为跟随者的状态，则模型(1)可重构为：
x ˉ ˙ i = A ˉ x ˉ i + B ˉ u i + E p i y i = C ˉ x ˉ i \begin{array}{c} {{\dot{\bar x}_i} } = \bar A{{\bar x}_i} + \bar B{u_i} + E{p_i}\\ {y_i} = \bar C{{\bar x}_i} \end{array} xˉ˙i=Aˉxˉi+Bˉui+Epiyi=Cˉxˉi
式中， x ˉ i = [ x i d i ] T \bar{x}_i=\left[ x_i \quad d_i \right]^{\rm{T}} xˉi=[xidi]T， p i = d ˙ i p_i=\dot{d}_i pi=d˙i， A ˉ = [ A B 0 0 ] \bar{A}=\left[ \begin{matrix} A & B \\ \textbf{0} & \textbf{0} \end{matrix} \right] Aˉ=[A0B0]， B ˉ = [ B 0 ] T \bar{B}=\left[ B \quad \textbf{0} \right]^{\rm{T}} Bˉ=[B0]T， C ˉ = [ C 0 ] \bar{C}=\left[ C \quad \textbf{0} \right] Cˉ=[C0]，其中 0 \textbf{0} 0是适度维度的零矩阵。
假设模型(3)中 ( A ˉ , C ˉ ) (\bar{A},\bar{C}) (Aˉ,Cˉ)是可观的，可设计一个龙伯格扩张状态观测器为：
x ˉ ^ ˙ i = A ˉ x ˉ ^ i + B ˉ u i + G ( y i − C ˉ x ˉ ^ i ) \dot{\hat{\bar{x}}}_i = \bar A{\hat{\bar x} }_i + \bar B{u_i} + G({y_i} - \bar C{\hat{\bar x} }_i) xˉ^˙i=Aˉxˉ^i+Bˉui+G(yi−Cˉxˉ^i)
式中， x ˉ ^ i = \hat{\bar{x}}_i= xˉ^i=是对 x ˉ i \bar{x}_i xˉi的估计， G G G是观测器增益矩阵。
增益 G G G常采用极点配置法求取，但理想的期望极点很难确定，且该方法无法通过误差和控制输入的优化来选取增益G，因此，可以使用LQR的方法设计 G G G，具体设计方法参考文献【1】。
2.控制器设计
第 i i i个跟随者节点与其邻居节点之间的状态误差定义为：
ξ i = ∑ j ∈ N i ( ( a i j ( x ^ i − x ^ j ) + b i ( x ^ i − x 0 ) ) {\xi _i} = \sum\nolimits_{j \in {N_i}} {(({a_{ij}}(\hat{{ x}}_i - {\hat{ x}_j}) + {b_i}({\hat{ x}_i} - {x_0}))} ξi=∑j∈Ni((aij(x^i−x^j)+bi(x^i−x0))
式中， N i N_i Ni表示 i i i节点邻居节点的集合； j j j节点对 i i i节点有信息传递时， a i j = 1 a_{ij}=1 aij=1，否则 a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0；领航者对 i i i节点有信息传递时， b i = 0 b_i=0 bi=0，否则 b i = 0 b_i=0 bi=0。
假设模型(2)中(A,B)是可控的，根据扩张状态观测器得到的扰动估计值，可设计带扰动补偿的控制器为：
u i = K ξ i − d ^ i {u_i} = K{\xi _i} - {\hat d_i} ui=Kξi−d^i
式中， K = − τ K a K=-\tau{K_a} K=−τKa，其中 τ \tau τ是一个与多智能体通讯拓扑结构相关的参数， K a K_a Ka为控制器增益矩阵。
为了提高控制器的性能，同样可以使用LQR方法设计控制器增益 K a K_a Ka，具体设计方法参考文献【2】。
关于控制器和观测器的稳定性，感兴趣的读者可以自行证明。
三、数值仿真
考虑一个二阶领航跟随多智能体系统有1个领航者和4个跟随者，状态 x i = [ x 1 , i x 2 , i ] T x_i=\left[ x_{1,i} \quad x_{2,i} \right]^{\rm{T}} xi=[x1,ix2,i]T，系统矩阵 A = [ 0 1 0 0 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] A=[0010]， B = [ 0 1 ] T B=\left[ 0 \quad 1 \right]^{\rm{T}} B=[01]T， C ˉ = [ 1 0 ] \bar{C}=\left[ 1 \quad 0 \right] Cˉ=[10]。领航跟随多智能体系统通讯拓扑图为：
设置外部扰动为：
d i = α i t + β i e χ i t sin t + γ i i = 1 , 2 ⋯ 8 {d_i} = {\alpha _i}t + {\beta _i}{e^{{\chi _i}t}}\sin t + {\gamma _i}{\rm{ }}i = 1,2 \cdots 8 di=αit+βieχitsint+γii=1,2⋯8
式中，扰动参数 α = [ 0.001 − 0.001 0.002 0.001 ] T \alpha = \left[ 0.001 \quad -0.001 \quad 0.002 \quad 0.001 \right]^{\rm{T}} α=[0.001−0.0010.0020.001]T， β = [ 1 1.5 2 2.5 ] T \beta= \left[ 1 \quad 1.5 \quad 2 \quad 2.5 \right]^{\rm{T}} β=[11.522.5]T， χ = [ − 0.3 − 0.3 − 0.5 0.3 ] T \chi= \left[ -0.3 \quad -0.3 \quad -0.5 \quad 0.3 \right]^{\rm{T}} χ=[−0.3−0.3−0.50.3]T， γ = [ 1 2 − 1 5 ] T \gamma= \left[ 1 \quad 2 \quad -1 \quad 5 \right]^{\rm{T}} γ=[12−15]T
设置跟随者初始状态：
x 1 ( 0 ) = [ 2 0 4 0 ] T x 2 ( 0 ) = [ − 1 0 − 1 1 ] T \begin{align*} x_{1}(0) &= \left[ 2 \quad 0 \quad 4 \quad 0 \right]^{\rm{T}} \\ x_{2}(0) &= \left[ -1 \quad 0 \quad -1 \quad 1 \right]^{\rm{T}} \end{align*} x1(0)x2(0)=[2040]T=[−10−11]T
设置领航初始状态与运动轨迹为：
x 1 , 0 ( 0 ) = 2 x 2 , 0 ( 0 ) = 0 x ˙ 2 , 0 ( t ) = 0.2 cos ( 0.15 t ) \begin{align*} x_{1,0}(0) &= 2 \\ x_{2,0}(0) &= 0 \\ \dot{x}_{2,0}(t)=0.2\cos (0.15t) \end{align*} x1,0(0)x2,0(0)x˙2,0(t)=0.2cos(0.15t)=2=0
Matlab仿真代码如下所示：
clear
clc
%% 预先设置
global L F K G A B A_bar B_bar D_Mar
%系统矩阵
A = [0 1; 0 0];
B = [0; 1];
C = [1 0];
A_bar = [A B; 0 0 0];
B_bar = [B; 0];
C_bar = [C 0];
%系统通讯拓扑图
L = [2 -1 0 -1
-1 2 -1 0
0 -1 2 -1
-1 0 -1 2];% 拉普拉斯矩阵
F= diag([1 0 0 0]); % 牵引矩阵
%观测器Riccati方程
Qa = diag([15 15 15]);Ra = 0.1;
%控制器Riccati方程
Qb = diag([10 10]);Rb = 0.6;
% LQR方法求解观测器增益
[G,Pa] = lqr(A_bar', C_bar', Qa, Ra);
G = G';
% LQR方法求解控制器增益
[Ka,Pb] = lqr(A, B, Qb, Rb);
tau = 1/(2*min(eig(L+F)));
K = -tau*Ka;
%扰动参数矩阵
D_Mar = [ 0.001 -0.001 0.002 0.001
1 1.5 2 2.5
-0.3 -0.3 -0.5 -0.3
1 2 -1 5];
% 多智能体初始状态设置
X1l = 2;
X2l = 0;
X1f = [2 0 4 0];
X2f = [-1 0 -1 1];
X1hat = X1f; % 跟随者位置状态的初始估计
X2hat = X2f; % 跟随者速度状态的初始估计
Dhat = D_Mar(4,:);% 扰动的初始估计
%时间设置
tBegin = 0;
tFinal = 50;
tspan = [tBegin, tFinal];
%% Calculate ODE Function
In = [X1l X2l X1f X2f X1hat X2hat Dhat]';
[t, X] = ode23(@ctFun, tspan, In);
%% Draw Graphs
% 提取仿真结果
X1l_sim = X(:, 1);
X2l_sim = X(:, 2);
X1f_sim = X(:, 3:6);
X2f_sim = X(:, 7:10);
X1hat_sim = X(:, 11:14);
X2hat_sim = X(:, 15:18);
Dhat_sim = X(:, 19:22);
% 计算真实扰动
% 绘图
% 1-1.绘制领导者与跟随者的状态X1曲线
figure;
hold on
% 定义点画线样式
line_styles = {'--', ':', '-.', '-..'};
% 循环跟随者曲线
for j = 1:4
plot(t, X1f_sim(:, j), line_styles{j}, 'linewidth', 1.5);
end
% 绘制 X1l_sim 曲线
plot(t, X1l_sim, 'r-', 'linewidth', 1);
hold off
% 添加图例
legend('Agent1','Agent2','Agent3','Agent4','Leader', 'FontSize', 16);
xlabel('$t(s)$', 'Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
ylabel('$x_{1,i}$','Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
% 添加上边框和右边框
box on;
grid on;
% 1-2.绘制领导者与跟随者的状态X2曲线
figure;
hold on
% 定义点画线样式
line_styles = {'--', ':', '-.', '-..'};
% 循环跟随者曲线
for j = 1:4
plot(t, X2f_sim(:, j), line_styles{j}, 'linewidth', 1.5);
end
% 绘制 X2l_sim 曲线
plot(t, X2l_sim, 'r-', 'linewidth', 1);
hold off
set(gca, 'FontSize', 16); % 修改全局图的坐标数字字号为 16
% 添加图例
legend('Agent1','Agent2','Agent3','Agent4','Leader', 'FontSize', 16);
xlabel('$t(s)$', 'Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
ylabel('$x_{2,i}$','Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
% 添加上边框和右边框
box on;
grid on;
%绘制扰动与扰动观测值
% 计算真实扰动
Disturbance_true = zeros(size(Dhat_sim));
for i = 1:length(t)
for j = 1:4
Disturbance_true(i,j) = D_Mar(1,j)*t(i)+ D_Mar(2,j) * exp(D_Mar(3,j)*t(i))*sin (t(i)) + D_Mar(4,j);
end
end
% 绘制扰动估计对比
for i = 1:4
figure;
plot(t, Disturbance_true(:,i), 'color', 'k', 'linewidth', 1.5);
hold on;
plot(t, Dhat_sim(:,i), '--', 'linewidth', 1.5);
hold off;
% 动态生成图例文本
legend(sprintf('$d_%d$', i), sprintf('$\\hat{d}_%d$', i), 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'northeast', 'FontSize', 16);
set(gca, 'FontSize', 16); % 修改全局图的坐标数字字号为 16
xlabel('$t(s)$', 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 26);
ylabel(sprintf('$d_%d(t)$', i), 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 26);
grid on;
end
%% ODE Function
function dX = ctFun(t,In)
global L F K G A B A_bar B_bar D_Mar
% 提取状态
X1l = In(1);
X2l = In(2);
X1f = In(3:6);
X2f = In(7:10);
X1hat = In(11:14);
X2hat = In(15:18);
Dhat = In(19:22);
% 初始化Disturbance为列向量
Disturbance = zeros(length(X1f), 1);
% 设置外部扰动
for j = 1:4
Disturbance(j) = D_Mar(1,j)*t + D_Mar(2,j) * exp(D_Mar(3,j)*t)*sin(t) + D_Mar(4,j);
end
% 领导者动力学
dX1l = X2l;
dX2l = 0.2*cos(0.15*t) ;
% 跟随者动力学
X1_Bar = X1hat - X1l; X2_Bar = X2hat - X2l;
dX1f = A(1,2)*X2f;
u = K(1)*(L+F) * X1_Bar + K(2)*(L+F) * X2_Bar - Dhat;%加了扰动补偿
dX2f = B(2,1)*u + B(2,1)*Disturbance;
% 扩张状态观测器
dX1hat = A_bar(1,2)*X2hat + G(1) * (X1f - X1hat);
dX2hat = A_bar(2,3)*Dhat + B_bar(2,1)*u + G(2)*(X1f - X1hat);
dDhat = G(3) * (X1f - X1hat);
% output
dX = [dX1l; dX2l; dX1f; dX2f; dX1hat; dX2hat; dDhat];
end
仿真结果：
由上图片可知，四个跟随者可以跟踪上领航者的运动状态。修改Matlab中LQR权重矩阵Qb和Rb，可改变一致性跟踪效果。
四、参考文献
【1】费红姿, 刘冰鑫, 柳一林, 等. 基于LQR的高压共轨系统喷油量观测器设计[J]. 内燃机学报, 2023, 41(03): 247-254.
【2】高琳琳, 唐风敏, 郭蓬, 等. 自动驾驶横向运动控制的改进LQR方法研究[J]. 机械科学与技术, 2021, 40(03): 435-441.
总结
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