从零开始傅里叶变换

1 Overview

Motivation：从时域转换到频域。相当于提取了信号的频率特征，可以做进一步的处理和分析。

对于时域内的一个信号 $f(t)$ ，可以通过傅里叶变换得到频域函数 $F(\omega )$，同样也可以从频域转化为时域。

傅里叶变换：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot e^{-i\omega t}\text{ d}t$$
傅里叶逆变换：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{ d}\omega$$

2 傅里叶级数

傅里叶级数：任意周期性函数（波形）都可以表示成多个正余弦函数的线性组合。
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+a_1\cos (\omega t)+b_1\sin (\omega t)+a_2\cos (\omega t)+b_2\sin (\omega t)+\cdots \\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t))\end{array}$$
其中
$$\begin{gathered} a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_o+T}f(t)\cos (n\omega t)\text{d}t \\ {b}_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_o+T}f(t)\sin (n\omega t)\text{d}t \end{gathered}$$

2.1 基向量

为什么一个周期性函数（波形）可以表示成多个正余弦函数的线性组合？

• Recall 空间中的基向量：

  • $M$ 维空间的任意一个向量都可以表示为该空间的基向量 Q = { q 1 , q 2 , ⋯   , q M } \mathbf Q=\{\mathbf q_1,\mathbf q_2,\cdots,\mathbf q_M\} Q={q1​,q2​,⋯,qM​} 的线性组合：$\mathbf{v}=x_1{\mathbf{q}}_1+x_2{\mathbf{q}}_2+\cdots +x_M{\mathbf{q}}_M$
  • 这 $M$ 个基向量两两正交：${\mathbf{q}}_i^{\top }{\mathbf{q}}_j=0,(i\ne j)$

• Recall 正交函数：

  • 将函数看作向量，连续函数也就是一个维度 $M=\infty$ 的向量。即一个在 $[a,b]$ 上有定义的实函数 $f(x)$ 可以表示为一个$M$ 维的向量 $\mathbf{f}$：$f(x)=\mathbf{f}=(f(a),f(a+\Delta x),f(a+2\Delta x),\cdots ,f(a+(M-1)\Delta x))$。其中 $\Delta x\to 0$ 且 $b=a+(M-1)\Delta x$

  • 根据上文中提到的

    $M$ 维空间的任意一个向量都可以表示为该空间的基向量 Q = { q 1 , q 2 , ⋯   , q M } \mathbf Q=\{\mathbf q_1,\mathbf q_2,\cdots,\mathbf q_M\} Q={q1​,q2​,⋯,qM​} 的线性组合

    那么 $\mathbf{f}$ 可以由 $M$ 个 $M$ 维的正交向量表示（基向量），找到基向量 ${\mathbf{g}}_0,{\mathbf{g}}_1,\cdots ,{\mathbf{g}}_{M-1}$ 表示为函数 $g_0,g_1,\cdots ,g_{M-1}$：
    $$\begin{array}{rl}{\mathbf{g}}_0& =g_0(x)=(g_0(a),g_0(a+\Delta x),g_0(a+2\Delta x),\cdots ,g_0(a+(M-1)\Delta x))\\ {\mathbf{g}}_1& =g_1(x)=(g_1(a),g_1(a+\Delta x),g_1(a+2\Delta x),\cdots ,g_1(a+(M-1)\Delta x))\\ & \cdots \\ {\mathbf{g}}_{M-1}& =g_{M-1}(x)=(g_{M-1}(a),g_{M-1}(a+\Delta x),g_{M-1}(a+2\Delta x),\cdots ,g_{M-1}(a+(M-1)\Delta x))\end{array}$$
    可以得出 $g_0,g_1,\cdots ,g_{M-1}$ 是两两正交的函数，也就是：${\int }_a^b{g}_i(x)g_j(x)\text{d}x=0,(i\ne j)$

    那么 $\mathbf{f}$ 可以由 $g_0,g_1,\cdots ,g_{M-1}$ 的线性组合来表示：
    $$f(x)=\mathbf{f}=a_0{g}_0(x)+a_1{g}_1(x)+\cdots +a_{M-1}{g}_{M-1}(x)$$
    为了求系数 $a_n$，其中 $n=0,\cdots M-1$，先在两边同时乘上 $g_n(x)$，然后再对 $x$ 积分
    $$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)g_n(x)\text{d}x& ={\int }_a^b(a_0{g}_0(x)+a_1{g}_1(x)+\cdots +a_{M-1}{g}_{M-1}(x))g_n(x)\text{ d}x\\ & ={\int }_a^b{a}_0{g}_0(x)g_n(x)+a_1{g}_1(x)g_n(x)+\cdots a_n{g}_n(x)g_n(x)+\cdots +a_{M-1}{g}_{M-1}(x)g_n(x)\text{ d}x\\ & ={\int }_a^{b}0+0+\cdots +a_n{g}_n(x)g_n(x)+\cdots +0\text{ d}x\\ & ={\int }_a^b{a}_n{g}_n(x)g_n(x)\text{ d}x\\ a_n& =\frac{{\int }_a^{b}f(x)g_n(x)\text{d}x}{{\int }_a^b{g}_n(x)g_n(x)\text{ d}x}\end{array}$$

2.2 三角函数系表示 $f(t)$

2.2.1 三角函数系的正交性

• 三角函数系 $1,\cos (\omega t),\sin (\omega t),\cos (2\omega t),\sin (2\omega t),\cdots \cdots ,\cos (n\omega t),\sin (n\omega t),\cdots \cdots$ 就是这样的一组在区间 $[t_1,t_2]$ 内两两正交的函数，即上文中的 $g_0(t),g_1(t),\cdots ,g_{M-1}(t)$。这里 $\omega =\frac{2\pi }{t_2-t_1}$

• 证明三角函数系确实是两两正交的，这些三角函数可以分为五类：$1,\cos (n\omega t),\cos (m\omega t),\sin (n\omega t),\sin (m\omega t)$。这里 $n\ne m$ 且 $n,m=1,2,3\cdots$ 即正整数。证明这五类两两正交即可

  • $1\perp \cos (n\omega t):{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n\omega t)\text{ d}t=0$

    由于 $\omega =\frac{2\pi }{t_2-t_1}$ ，第 $n$ 项三角函数 $f_{\text{trg}}^n(t)=\cos (n\omega t)$ 的周期 $T_n=\frac{2\pi }{n\omega }=\frac{t_2-t_1}{n}$，可以得出 $t_2-t_1=n{T}_n$，即区间 $[t_1,t_2]$ 是 $\cos (n\omega t)$ 的周期的整数倍，即 $[t_2,t_1]$ 一定是 $\cos (n\omega t)$ 的一个周期，即可得出 ${\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n\omega t)\text{ d}t=0$

  • $1\perp \sin (n\omega t):{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n\omega t)\text{ d}t=0$

    类似的，通过区间 $[t_2,t_1]$ 是 $\sin (n\omega t)$ 的一个周期，可以证明 ${\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n\omega t)\text{ d}t=0$

  • $\sin (n\omega t)\perp \sin (m\omega t):{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n\omega t)\sin (m\omega t)\text{ d}t=0$

    根据积化和差：
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n\omega t)\sin (m\omega t)\text{ d}t& ={\int }_{t_1}^{t_2}-\frac{1}{2}(\cos (n+m)\omega t-\cos (n-m)\omega t)\text{ d}t\\ & =-\frac{1}{2}{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n^{\prime }\omega t)-\cos (m^{\prime }\omega t\text{ d}t)\\ & =-\frac{1}{2}\left({\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n^{\prime }\omega t)\text{ d}t-{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (m^{\prime }\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =0\end{array}$$

  • $\cos (n\omega t)\perp \cos (m\omega t):{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n\omega t)\cos (m\omega t)\text{ d}t=0$

    类似地，根据积化和差：
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n\omega t)\cos (m\omega t)\text{ d}t& ={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}(\cos (n+m)\omega t+\cos (n-m)\omega t)\text{ d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n^{\prime }\omega t)+\cos (m^{\prime }\omega t)\text{ d}t\\ & =\frac{1}{2}\left({\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n^{\prime }\omega t)\text{ d}t+{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (m^{\prime }\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =0\end{array}$$

  • $\sin (n\omega t)\perp \cos (m\omega t):{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n\omega t)\cos (m\omega t)\text{ d}t=0$ ，此时无需 $m\ne n$

    由积化和差：
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n\omega t)\cos (m\omega t)\text{ d}t& ={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}(\sin (n+m)\omega t+\sin (n-m)\omega t)\text{ d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n^{\prime }\omega t)+\sin (m^{\prime }\omega t)\text{ d}t\\ & =\frac{1}{2}\left({\int }_{t_1}^{t_2}\sin (n^{\prime }\omega t)\text{ d}t+{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (m^{\prime }\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =0\end{array}$$

• 也就是说三角函数系有正交性，也就是一个在 $[t_1,t_2]$ 有定义的 $f(t)$，可以表示为
  $$\begin{array}{rl}f(t)& =a_0+a_1\cos (\omega t)+b_1\sin (\omega t)+\cdots +a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)+\cdots \\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t))\end{array}$$

2.2.2 三角函数系的系数

如何求得表示 $f(t)$ 的三角函数系的系数？

• 那么接下来需要求得 $f(t)$ 函数的系数。与上文的正交函数类似，与正交函数中的系数 $a_n$ 相比，此处有三处系数 $a_0,a_n$ 和 $b_n$ （此时 $n>0$）

  • 首先求 $a_0$ 的值，对 $t$ 求积分：
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t& ={\int }_{t_1}^{t_2}\left(a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (n\omega )t+b_n\sin (n\omega t))\text{ d}t\right)\text{ d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}{a}_0\text{ d}t+0\\ & =(t_2-t_1)a_0\\ a_0& =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (0\omega t)\text{ d}t\end{array}$$

  • 为了求系数 $a_n/b_n$，为等式两边乘上 $a_n/b_n$ 的对应项 $\cos n\omega t/\sin n\omega t$ 再求积分，去掉值为0的正交项，只留下 $m=n$ 时的 $\cos /\sin )$ 项。为区分符号设定此时 $\omega =\frac{2\pi }{t_2-t_1}$：
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (m\omega t)\text{ d}t& =a_0{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (m\omega t)\text{ d}t+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (m\omega t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t+b_n{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (m\omega t)\cdot \sin (n\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =0+a_n{\int }_{t_1}^{t_2}{\cos }^2(n\omega t)\text{ d}t+0\end{array}$$
    利用倍角公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$，得到：
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t& =a_n{\int }_{t_1}^{t_2}{\cos }^2(n\omega t)\text{ d}t\\ & =\frac{a_n}{2}{\int }_{t_1}^{t_2}(1+\cos (2n\omega t))\text{ d}t\\ & =\frac{a_n}{2}\left({\int }_{t_1}^{t_2}1\text{ d}t+{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n^{\prime }\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =\frac{a_n(t_2-t_1)}{2}\\ a_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t\end{array}$$

  • 同理，利用倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，可得
    $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (m\omega t)\text{ d}t& =a_0{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (m\omega t)\text{ d}t+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (m\omega t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t+b_n{\int }_{t_1}^{t_2}\sin (m\omega t)\cdot \sin (n\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =0+b_n{\int }_{t_1}^{t_2}{\sin }^2(n\omega t)\text{ d}t+0\\ & =\frac{b_n}{2}{\int }_{t_1}^{t_2}(1-\cos (2n\omega t))\text{ d}t\\ & =\frac{b_n}{2}\left({\int }_{t_1}^{t_2}1\text{ d}t-{\int }_{t_1}^{t_2}\cos (n^{\prime }\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =\frac{b_n(t_2-t_1)}{2}\\ b_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t)\text{ d}t\end{array}$$
    对比 $a_0,a_n$ 和 $b_n$ ，为了能使 $n$ 也能表示 $n=0$ 的情况，令 $a_0=2a_0$。此时我们可以得到
    $$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)\right)\\ a_0& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t\\ a_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t\\ b_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t)\text{ d}t\end{array}$$

至此傅里叶级数可以将任意一个周期函数 $f(t)$ 分解为多个三角函数的组合，从而完成时域到频域的转换。而傅里叶级数是处理周期函数的，为了处理非周期的普通函数，需要把周期 $T$ 从 $2\pi$ 趋向于无穷，也就是傅里叶变换。

2.3 复指数函数系表示 $f(t)$

2.3.1 复指数函数系的系数

在傅里叶变换之前，我们使用一个更加简单直观的表示，将傅里叶的三角函数形式转化为傅里叶的复指数形式。由欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$ 可得：
$$\begin{array}{rl}\cos (n\omega t)& =\frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})\\ \sin (n\omega t)& =\frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})=-\frac{i}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\end{array}$$
代入 $f(x)$：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-\frac{i{b}_n}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right)\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{in\omega t}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-in\omega t}\right)\end{array}$$
重新求系数：
$$\begin{array}{rl}\frac{a_n-i{b}_n}{2}& =\frac{1}{t_2-t_1}\left({\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t-i\cdot {\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t)\text{ d}t\right)\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (\cos (n\omega t)-i\cdot \sin (n\omega t))\text{ d}t\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \left(\frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-i\cdot \frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right)\text{ d}t\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot e^{-in\omega t}\text{ d}t\\ \frac{a_n+i{b}_n}{2}& =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot e^{in\omega t}\text{ d}t\end{array}$$
代入 $f(t)$ ，为了区分，将原系数 $a_0,a_n$ 和 $b_n$ 中的 $t$ 表示为 $\tau$ 。可得：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left(\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}+\left(\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{-in\omega t}\right)\\ & =\frac{a_0}{2}+\frac{1}{t_2-t_1}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}+\frac{1}{t_2-t_1}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{-in\omega t}\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\text{ d}\tau +\frac{1}{t_2-t_1}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}+\frac{1}{t_2-t_1}\sum _{n=-\infty }^{-1}\left({\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left({\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{in\omega t}\\ c_n& =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \end{array}$$
也就是将 $f(t)$ 看作基向量 $e^{in\omega t}$ 的线性组合。同样，此时傅里叶级数可以将任意一个周期函数 $f(x)$ 分解为多个复指数形式的组合，从而完成时域到频域的转换。

2.3.2 复指数函数系的正交性

证明 $e^{in\omega t}$ 确实可以作为基向量，即证明复指数函数系的正交性，即证明对于 $n\ne m$ ，相对应的复指数内积 $⟨e^{in\omega t},e^{im\omega t}⟩=0$。注意两个复函数内积时要对一个求共轭，即 $⟨f,g⟩:={\int }_a^{b}f(t)\overline{g(t)}\text{ d}t$
$$\begin{array}{rl}⟨e^{in\omega t},e^{im\omega t}⟩& ={\int }_{t_1}^{t_2}{e}^{in\omega t}\cdot e^{-im\omega t}\text{ d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}{e}^{i\omega t(n-m)}\text{ d}t\\ & =\frac{1}{i\omega (n-m)}{e}^{i\omega t(n-m)}{|}_{t_1}^{t_2}\\ & =\frac{1}{i\omega (n-m)}\left(e^{i\omega (n-m)t_2}-e^{i\omega (n-m)t_1}\right)\end{array}$$
由于 $f_{\text{cplx}}^n(t)=e^{in\omega t}$ 的周期 $T_n=\frac{2\pi }{n\omega }=\frac{t_2-t_1}{n}$ ，可以得出 $t_2-t_1=n{T}_n$，即区间 $[t_1,t_2]$ 是 $f_{\text{cplx}}^n(t)$ 的周期的整数倍，即 $[t_2,t_1]$ 一定是 $f_{\text{cplx}}^n(t)$ 的一个周期，即 $f_{\text{cplx}}^n(t_1)=f_{\text{cplx}}^n(t_2)$，那么当 $n=n-m=n^{\prime }$ 时：
$$\begin{array}{rl}⟨e^{in\omega t},e^{im\omega t}⟩& =\frac{1}{i\omega (n-m)}\left(e^{i\omega n^{\prime }{t}_2}-e^{i\omega n^{\prime }{t}_1}\right)\\ & =\frac{1}{i\omega (n-m)}\left(f_{\text{cplx}}^{n^{\prime }}(t_2)-f_{\text{cplx}}^{n^{\prime }}(t_1)\right)\\ & =\frac{1}{i\omega (n-m)}\cdot 0\\ & =0\end{array}$$

2.4 傅里叶级数总结

至此我们得到了周期性信号 $f(t)$ 的三角函数系表示：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)\right)\\ a_0& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t\\ a_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d}t\\ b_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t)\text{ d}t\end{array}$$
和复指数函数系表示：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{in\omega t}\\ c_n& =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-in\omega \tau }\text{ d}\tau \end{array}$$
其中 $t_2-t_1$ 是 $f(t)$ 的一个周期，$\omega =\frac{2\pi }{t_2-t_1}$。

3 傅里叶变换

此时的傅里叶级数只是针对周期性函数的，即转换为频域时，频率的个数是有限多个，即频域图是离散的。傅里叶变换就是将傅里叶级数推广到一般的非周期性函数。

接下来对复指数形式的傅里叶级数进行一个从离散到连续的过程，即将傅里叶级数扩展到非周期性函数(周期无限大的函数)中。这里要用到黎曼积分的定义。此时 $\omega =\frac{2\pi }{t_2-t_1}$， 当周期 $t_2-t_1\to \infty$ 时，$\omega \to 0$。此时我们令：
$$\begin{array}{rl}{\omega }_n& =n\omega =\frac{2\pi n}{t_2-t_1}\\ F(\omega )& ={\int }_{t_1}^{t_2}f(\tau )\cdot e^{-i\omega \tau }\text{ d}\tau \end{array}$$
那么 $f(t)$ 可以写成：
$$\begin{array}{r}f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{t_2-t_1}F({\omega }_n)e^{i{\omega }_{n}t}\end{array}$$
根据积分的黎曼和表达式 ：
$${\int }_a^b{f}_{\text{riman}}(x)\text{ d}x=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{n=0}^{\infty }{f}_{\text{riman}}(x_n)\cdot \lambda$$
则对于 $f(t)$ 来说：
$$\begin{array}{rl}{f}_{\text{riman}}(\omega )& =F(\omega )e^{i\omega t}\\ \lambda & =\Delta \omega ={\omega }_n-{\omega }_{n-1}=\frac{2\pi n}{t_2-t_1}-\frac{2\pi (n-1)}{t_2-t_1}=\frac{2\pi }{t_2-t_1}\end{array}$$
因此可以将 $f(t)$ 写成
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{2\pi }{t_2-t_1}F({\omega }_n)e^{i{\omega }_{n}t}\\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda \cdot f_{\text{riman}}({\omega }_n)\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\text{riman}}(\omega )\text{ d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{ d}\omega \end{array}$$
此时周期 $t_2-t_1\to \infty$，这就是傅里叶变换：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot e^{-i\omega t}\text{ d}t$$
和傅里叶逆变换：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{ d}\omega$$

参考资料：

深入理解正交函数 https://zhuanlan.zhihu.com/p/338045910

傅里叶分析之掐死教程 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

三角函数和 $e^{ikx}$的正交性 https://zhuanlan.zhihu.com/p/597931378

如何理解傅里叶变换公式？https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/1119070975

傅里叶变换 https://zhuanlan.zhihu.com/p/104079068

浅谈傅里叶变换：关于傅里叶变换的几种几何学解释 https://mp.weixin.qq.com/s/rkDrHrTJwAbGL0znvnk_pA

傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41875010